群論基礎

投稿日時: 2021/12/14 システム管理者

■群という代数系
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[定義] 集合$$G$$が次の4つを満足するとき,集合$$G$$は群と呼ばれる.
1° 2項演算の存在: $$^{ \forall }a, ^{ \forall }b \in G \to a \circ b \in G$$
2° 結合法則: $$a \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c$$
3° 単位元の存在: ある元 $$e \in G$$(ただ一つ)が存在し,
  $$a \circ e=e \circ a=a$$が,すべての $$a \in G$$に対して成り立つ.
4° 逆元の存在: 各 $$a \in G$$に対して,
  $$x \circ a=a \circ x=e$$となる $$x \in G$$が,いつも(一意に)存在する.

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ある集合を考える.この集合の元間に,ある演算$$ \circ $$(2項演算)が定義されて,その演算について,ある"構造"を持つ集合を,代数系($$ \circ $$系)という.群は一つの代数系の例である.
演算$$ \circ $$について結合的(1°,2°のみ成り立つ)である代数系は半群という.
(例題)正3角形に対する対称操作の乗積表を完成せよ.
ただし,$$ \bigtriangleup 123$$を動かしても,$$\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$$の位置は変わらないとする.

 

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[定義] 元の数を群の位数(order)という.
元$$a$$の位数(order)とは,$$a^{n}=e$$となる最小の$$n$$のことである.
[定義] 部分群: $$H$$は$$G$$の部分群であるとは,
$$H \subseteq G$$で,$$H$$は$$G$$と同じ演算で群を作る.

群$$G$$の部分群$$H$$には,群$$G$$と単位元のみが作る群$$E$$が必ずある.
特に,$$E \subset H \subset G$$なら$$H$$を真部分群という.
剰余類分解
$$G$$を部分群$$H=\left\{ E,\sigma _{1} \right\} $$の剰余類で展開しよう.