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高次元空間からの影

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数学月間SGK通信 [2016.09.06] No.131
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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始めにお詫びです.先週発行した”黄金三角形パズル”の図のリンクが切れていたようです.
以下のサイトに掲載しておりますので,こちらをご覧ください.
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16936782.html

さて今回は,高次元の世界から低次元の世界への影についてです.
高い次元の空間の周期性は,低い次元の空間に必ずしも遺伝しません.
ここではそのような例を見てみましょう.

■2次元の周期的な世界から1次元の非周期の世界へ
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/37/17648237/img_2_m?1472990935

1辺の長さが1の正方形のタイル(赤色)を隙間なく張り詰めた周期的な2次元世界があります.
タイルの中心に格子点があるとして,格子点を”1次元世界(水平な青色の線)”に射影しましょう.
この1次元世界(青色の水平線)が過るタイルだけが影を作る対象になります.
■2次元の世界は,1次元の世界1,2,3,4,6,8.....(それぞれ色を変えた)を束ねてできています.
射影のスクリーンとなる1次元世界(水平な青色直線)は,これらの1次元世界1,2,3,4,5,6,...と
角度αで交わっています.
tanα=n/mと有理数なら,1つの格子点が青色の直線に載れば,
その格子点がある部分空間の中でm個のタイルを動き,他の部分空間に向ってn個のタイルを動いた場所にある格子点は,
また青色の直線に載っているはずで,青色の1次元世界にも周期が出来ています.
もしtanαが無理数なら,1つの格子点が水平な青色直線に載ったら,
他の格子点でこの直線に載るものはないはずです.この時は,青色の1次元世界は非周期になります.
■射影されてできた1次元の非周期格子を,図の下に取り出しました.
この非周期格子の格子点は,各1次元空間1,2,3,4,5,6,....内に起源をもつ間隔と,
次の1次元世界に飛び移るときに生じる間隔との2種類の間隔が混ざってできています.

■この非周期格子は,周期的2次元空間から1次元空間への射影で作りました.
周期的2次元空間の1次元の断面そのものではありません.