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フィボナッチ数列とミツバチ

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数学月間SGK通信 [2018.08.28] No.230
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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今年の夏は特別暑いですね.皆様お元気でしょうか.
7,8月は超過密なスケジュールでしたが,何とか乗り切れそうです.
8月22日の数学月間懇話会(第14回)は,お陰様で無事実施できました.
残るは9月2日のとっとりサイエンスワールドin倉吉(未来中心)です.
お近くの方,ぜひご参加ください.私は万華鏡で参加します.
今年の万華鏡は,ちょっと見ると昨年と同じと思う人もいそうですが,
実は3枚鏡に進化しているのです.今年の万華鏡を作れば,昨年より
ずいぶんきれいな映像であることがわかるでしょう.
このようなタイプ(ブリュースタ)の万華鏡は,これでゴールです.
来年の万華鏡からは,多面体万華鏡のシリーズに変えたいと思っています.
ぜひ,今年の万華鏡を作りに来てください.

ひまわりの花の中心の種の部分や,松ぼっくりを裏から見ると
時計回りの螺旋と反時計回りの螺旋が見えるでしょう.
それらの螺旋の数は,隣り合うフィボナッチ数であることが知られています.
今日は,フィボナッチ数の話です.

オスのミツバチは未受精卵から生まれ,メスのミツバチは受精卵から生まれるそうです.だから,オスのミツバチには母親しかいません.メスのミツバチには母親と父親がいます.
いま,1つのオスのミツバチに注目して,このミツバチの祖先が何匹になるか,
世代ごとに遡ってみましょう.
原点になるオスのミツバチを世代1とします.
遡って,世代nのミツバチの数を(a(n),b(n),t(n))と表記しましょう.
a(n)はメスのミツバチ数,b(n)はオスのミツバチ数,t(n)はミツバチ総数です.
世代1では,オスのミツバチ1匹なので,
(a(1)=0,b(1)=1,t(1)=1)です.
オスのミツバチには母親しかいませんから
親の世代(世代2)では,(a(2)=1, b(2)=0, t(2)=1)になり,
さらに遡り祖父母の世代(世代3)で,メスのミツバチ1匹が生れたのだから,
(a(3)=1,b(3)=1,t(3)=2) です.
この調子で遡っていきます:
いつも次の関係が成り立つことがわかるでしょう.
a(n-1)=b(n)
a(n-1)+b(n-1)=a(n)
t(n)=a(n)+b(n)

これらの関係を整理して,
a(n-1)+b(n-1)=a(n-1)+a(n-2)=a(n)
t(n)=a(n)+b(n)=a(n)+a(n-1)=a(n+1)
が得られます.
これは,メスのミツバチの数は,世代を遡るとフィボナッチ数列で増大する
ことを示しています.
n世代のミツバチ数は,一つ遡ったn+1世代のメスのミツバチ数と同じとも言えます.

1世代から遡って8世代まで,ミツバチ総数t(n)を並べて見ましょう.
 1,1,2,3,5,8,13,21,....
これはフィボナッチ数列です.