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数学月間勉強会ー空間の周期

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数学月間SGK通信 [2017.07.04] No.174
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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表題の数学月間流勉強会を,6月28日,15:00-17:00に,東大出版会,会議室で開催しました.
今回[第1回]は,空間の「周期」がテーマでした.この分野の大家の先生方,デザイナーなど関連分野の方,
物理や結晶分野の方,数学愛好の方など15人の参加があり,椅子が足りなくなりご迷惑をおかけしましたが,
楽しく充実した勉強会でした.参加御礼申し上げます.ご興味おありの方の参加をお勧めします.
次回の日時が決まりましたらアナウンスいたします.
[第2回]は,有限図形の対称性(点群),[第3回]は,繰り返し模様の対称性(結晶空間群)と続く予定です.
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[第1回]周期
1.2次元平面のデジタル化
平面のデジタル化とは,1種類のタイルで平面をタイル張りすることです.
例えば,平行4辺形や平行6辺形のタイルは,対向する辺をピッタリ合わせて並べると
平面に隙間なく張り詰めることができます.
Q.平行8辺形以上は平面を敷き詰められないのは何故でしょうか?
以下の図を見て考えましょう.
イメージ 1
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/18116960/img_0_m?1499094865

平行に対向する辺を同じように変形して,図案のモチーフを作ります.
このようにすると,エッシャーの様な繰り返し模様の図が作れます.
上図は平行4辺形を変形して得たエッシャーによるモチーフ,
下図は平行6辺形を変形して私が作ったハロウィーン魔女です.
イメージ 2
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2.ユークリッド平面の正則分割
(正多角形によるユークリッド平面のタイル張り)
正p角形が頂点でq個集まっているようなタイル張りを(p,q)と書きます.
正p角形の1つの内角について,(p-2)π/p=2π/q,つまり,1/p+1/q=1/2
p,qの整数解を求めると,(4,4),(6,3),(3,6)の3種類があります.
イメージ 3
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3.アルキメデスのタイル張り
2種類以上の正多角形を組み合わせて平面をタイル張り.
どの頂点の周りの状況も同じ(同一の順序でタイルが並んでいる)
ただし,右回りと左回りによる並び方の違いは同じものと見做す.
イメージ 4
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(1)3つの正多角形(正n1,n2,n3角形)の頂点が出会う場合
2/n1+2/n2+2/n3=1
(2)4つの正多角形の頂点が出会う場合
2/n1+2/n2+2/n3+2/n4=2
(3)5つの正多角形の頂点が出会う場合
2/n1+2/n2+2/n3+2/n4+2/n5=3
(4)6つの正多角形の頂点が出会う場合は
この状態は,正3角形が6つの場合だけ

これらを解いて得られる整数解は,必要条件を満たすものです.
実際に作ることができるか確認すると,8種類のアルキメデスのタイル張りが得られます.
イメージ 5
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イメージ 6
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