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4次元の万華鏡

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数学月間SGK通信 [2014.09.16] No.029
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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読者の皆様へ.
8月19日(025号)からまぐまぐの遅配が続いています.
特に,026号,027号はまだ配送されていない方があるようです.
届かない方がありましたら,ご一報ください.
これらの号では多面体に関する話を続けています.
メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので,
以下のサイトでもご覧になれます.
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html あるいは
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/?page_id=32
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◆4次元の正多面体は6種あるのですが,
3次元以上が見えない私たちには理解が困難です.
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが,どれもしっくりしません.
結局,4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです.(コクセター[幾何学入門]や
ヒルベルト,コーン・フォッセン[直観幾何学]に載っています).
さて,このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています.この記号の仕組みを理解することが結局
4次元の理解に直結します.シュレーフリの記号を単純な図形で見てみましょう.

◆3次元の正多面体の例
面(2次元)が頂点(0次元)で3つ以上集まらないと立体(3次元)はできません.
シュレーフリの記号は以下のようです.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_0?1410817831
(1)正4面体         {3,3}←シュレーフリ記号
正3角形の面(2次元)が頂点(0次元)で3つ集まっている.
(2)正6面体(立方体)    {4,3}←シュレーフリ記号
正4角形の面(2次元)が頂点(0次元)で3つ集まっている.

正多面体が記述の対象ですから,どの頂点まわりの状態も同じです.

◆4次元の正多面体の例
胞(3次元の多面体)が辺(2次元)で3つ以上集まらないと
4次元の立体はできません.
シュレーフリの記号は以下のようです.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_1?1410817831
(1)正5胞体       {3,3,3}
3次元正4面体{3,3}が辺(2次元)で3つ集まっている.
(2)正8胞体       {4,3,3}
3次元正6面体{4,3}が辺(2次元)で3つ集まっている.

正多胞体なので,どの辺まわりの状態も同じです.

(参考)  {4,3,4} というのはどのようなものでしょうか?
これは,3次元正6面体が辺のまわりに4つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態.
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です(3次元で納まってしまいます).

◆双対図形について
3次元の正多面体{p,q}の双対図形は{q,p}です.
{p,q}:正p角形の面が頂点でq個(辺がq本)集まっている.
この図形で面を頂点に変えた図形は,{q,p}となります.
同様に,{p,q,r}の双対図形は{r,q,p}になります.

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです(色々工夫していますが残念ながら困難なようです).
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_2?1410817831
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_3?1410817831