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約数の系統的な構造を示すグラフ(亀井図)

■まず210の約数の構造を例に,亀井図の性質を調べてみましょう.
210の約数の系統的な構造は,4次元の超立方体と同じ構造です.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


210は4つの互いに素な素数の積210=2・3・5・7から出来ているので,4次元超立方体と同じ構造です.
頂点1のレベルには1個,頂点2のレベルには,4つの素数で4個.頂点6のレベルには,2つの素数の積で,4C2=6個.頂点30のレベルには,3つの素数の積で,4C3=4個.頂点210のレベルは,4つの素数の積で,1個です.4次元の超立方体には対象心があり,互いに点対称な頂点の積は210になることも理解できます.
4次元の超立方体の1つの次元(例えば,素数2の方向)を消すと,3次元の立方体の2つに分離します.同様なことを,それぞれの3次元立方体で考え,例えば,素数7の方向の次元を消すと,3次元の立方体は2次元の面(例えば1-3-15-5)に分離します.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

このような性質を利用して,さらに高次元の6次元や7次元の超立方体を,同様に作れます.

■こんどは,5次元の超立方体を調べます.2310を素因数分解すると,2310=2・3・5・7・11ですから,2310は5次元の約数構造を持つ最小の数であるはずです.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

この5次元の超立方体は,素数2の方向の次元を消し去ることで,4次元の超立方体1155と2310の2つに分離することはお判りでしょう.
5次元空間は,1次元空間と互いに直交する4次元空間の直積で表現できるからです.
あるいは,互いに直交する2次元空間と3次元空間の直積ともみなすことができます.
例えば,2次元空間の代表を1-2-6-3とし,3次元空間の代表を385とすると,
385,770,2310,1155 の4つの3次元の立方体を見ることができるでしょう.

続く⇒亀井図を素数のべき乗が作る1次元格子で拡張する