シュレーフリの記号

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数学月間SGK通信 [2015.12.09] No.092
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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慌ただしい12月ですが,皆さまお風邪など召しませんように.私も危ない危ない.
今回は,4次元正多面体を理解するのに避けて通れないシュレーフリ記号についてです.
シュレーフリ(1814-1895)は,スイスの幾何学者.4次元の正多面体(ポリトープ:正多胞体)
が6つであることを示した人です.
ちょっと話を戻して,3次元の正多面体とは, 
(1)すべての面が同一の正多角形でできている.
(2)すべての頂点のまわりの状態は同一である.
を満たすもので,特に凸正多面体をプラトン正多面体と言いました.
プラトンの正多面体は5つであることはご存知でしょう.
注)5つの正多面体がプラトン多面体と呼ばれるのは,プラトンが著作に,ロクリス
(ギリシャの地名)のティマイオス(哲学者名)の宇宙観として“巨大な正12面体で囲まれている宇宙と,
四元素の正多面体”について述べているからです.この時代の四元素とは:
火→正4面体, 土→正6面体, 空気→正8面体, 水→正20面体.
正多面体が5種類であることは,プラトン以前のギリシャですでに知られていました.
ユークリッドの「原論」にも証明が載っています.

4次元の正多面体のことを正多胞体と呼ぶのが正しいのですが,
これは4次元の正多面体の面は,3次元の正多面体(プラトンの正多面体)なので,
面と言わずに胞Cellと呼ぶべきなのです.

さて,今回はこのようなものを記述するシュレーフリの記号についてです.
このような記号は面倒なようですが,この記号を理解すると多面体の性質のほとんどを理解したことになります.
シュレーフリの記号は本質をとらえた非常に優れた表記法であります.
■3次元の正多面体のシュレーフリ記号
{面の形,頂点に集まる面の数}
正4角形の面が頂点で3つ集まる図形を{4,3}と書きます.これは立方体ですね.
正3角形の面が頂点で4つ集まる図形{3,4}は? これは正8面体です.
{4,3}と{3,4}の図形は互いに双対の関係にあります.つまり,
一方の図形の面→頂点,頂点→面に置き換えると他方の図形が得られます.
互いに双対な図形の対称性は全く同じです.
■ユークリッド平面のタイル張り
{4,4}なら,正方形による無限平面のタイル張り,{3,6}なら,正3角形によるタイル張りになります.

■半正多面体を記述するシュレーフリの記号
半正多面体というのは,複数の正多角形で作られる多面体で
どの頂点のまわりの状況も同じものです.半正多面体を記述する記号は,
頂点のまわりを1周するとき出会う正多角形を列挙します.
切頂正4面体(正4面体のとがった頂点を切断し,残りの面が正6角形になるようにする)の例では 
[3,6,6]となります.シュレーフリ記号が,正多面体に関するものか,
半正多面体に関するものかの混乱を避けるため,私は前者を{},後者を[]と違うカッコを使い区別しています.

■4次元の正多胞体
正5胞体,正8胞体,正16胞体,正24胞体,正120胞体,正600胞体の6つです.
正5胞体は正4面体が5つでできています.
4次元正胞体のシュレ―フリの記号は{胞の形,1辺が共有する胞数}を指定します.
正5胞体は,正4面体が各辺の周りに3個集まっている図形ですので{{3,3},3}={3,3,3},
正16胞体は{3,3,4},正600胞体は{3,3,5}というように,全く自然に3次元から延長できます.

■最後に3つの幾何平面(2次元)のタイル張りについてまとめます.
このような正n多角形によるタイル張りを,平面の正則分割{n,k}といいます.
赤い色は楕円幾平面,緑色はユークリッド幾何平面,青色は双極幾何平面の出来事です
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