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双対多面体の話題

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数学月間SGK通信 [2017.06.06] No.170
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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久しぶりですが,今回は正多面体や菱形多面体の話題を取り上げます.
ユニット折り紙で,菱形多面体や星型多面体を作ったことがある方もおありでしょう.
まず,プラトンの正多面体は5種類であることを復習しましょう.
正p多角形の面が頂点でq個集まってできる正多角形は,シュレフリーの記法で{p,q}と記します.
プラトンの正多面体は,正4面体{3,3},正6面体{4,3},正8面体{3,4},正12面体{5,3},正20面体{3,5}です.
面を頂点に変えた図形同士は互いに双対な図形と言います.記号で言うと
{3,3}は自分自身と双対です.{4,3}と{3,4}は互いに双対.{5,3}と{3,5}は互いに双対です.
互いに双対の図形の対称性は同じです.

まず,Fig.2をご覧ください.
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_1_m?1496617471
左図は,互いに双対の図形,正6面体{4,3}と正8面体{3,4}の重ね合わせ.
双対の図形の対称性は同じですので,重ね合わせた図形も同じ対称性になります.
右図も同様で,正12面体と正20面体の重ね合わせの例です.

次にFig.1に移りましょう.
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_0_m?1496617471
6・8面体は,正6面体と正8面体の重ね合わせの共通部分です.同様に
12・20面体は,正12面体と正20面体の重ね合わせの共通部分です.
これらの多面体は正多面体ではありません(2種類の正多角形の面があるので,半正多面体).

6・8面体の双対図形が菱形12面体,12・20面体の双対図形が菱形30面体です.
例えば,左側の系列で言うと,6・8面体の正方形の面を,菱形12面体の稜が4つ集まる頂点に,
正3角形の面を稜が3つ集まる頂点に対応させています.

互いに双対な多面体の対称性は同じですから,
左の系列
菱形12面体,6・8面体は,立方体(あるいは,正8面体)と同じ対称性.
右の系列
菱形30面体,12・20面体は,5角正12面体(あるいは,正20面体)と同じ対称性です.

菱形多面体は,面の形が菱形で正多角形ではありませんから,正多面体や半正多面体の仲間ではありません.
(注)半正多面体とは,複数種類の正多角形の面でできるものです.菱形は正多角形ではありません.