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10回(5回)対称タイルを繰り返し並べる★

10回(5回)対称は,周期的に並ぶことができません.10回(5回)対称タイルを周期的に配列したイスラームの繰り返しパターンを調べましょう.このようなパターンはイスラームに特徴的で,ジャーミイのいろいろな所で見かけます.

10回(5回)対称は周期性と矛盾しますから,それぞれの10回(5回)対称が支配するのはタイルの内部だけです.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

このタイルの描き方を習得するのにだいぶ工夫をしました.
作図手順の足跡として,赤色の作図補助線を残しておきましたから,
皆さんも工夫してこの図を描いてみてください.

まず,中心にある円の円周を10等分することから始めます.
円周の10等分は中心角が36°の作図で,前回に正五角形(中心角72°)の作図をやりましたから,
それを応用して円周の10等分を作図してください.

この長方形のタイルが単位胞になり,これを並べることにより繰り返しパターンが作れます.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

この繰り返しパターンの平面群はP2mmです.

10mmという対称性の高い部分があります.もし,そのような対称性が全域に作用するなら,
繰り返し(周期性)ができるわけがありません.10mmという点群の作用はそれぞれの赤い円内の領域に限られるので,周期性と両立できるのです.このようなイスラーム・パターンは色々な所に見受けられます.

次に,この繰り返しパターンを3つの部品によるタイル貼りと解釈してみましょう.
つまり,図に示したように正10角形タイルと,ピンクのタイルと黄緑色のタイルの3種類です.
今日は,この3種類のタイルで平面が隙間なくタイルhave貼りされていることを確認してください.

 ■応用例