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面積ゼロで周囲が無限大

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数学月間SGK通信 [2015.04.28] No.061
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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面積がゼロで,周囲が無限大のフラクタル図形

フラクタル図形というのは,図形を拡大していくと,
どんどん細部が見えてくるが,それらがいつも同じ図形なのです.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Sierpinski_zoom.gif

そのような図形のうち,ポーランドの数学者シェルピンスキーの図形の作り方を見てみましょう.

(1)シェルピンスキーのガスケット
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/58/16668258/img_2_m?1429928123

正3角形から出発します.正3角形を4分割して真ん中を通り覗きます.
残った3つの正三角形をそれぞれ4分割して,それぞれの真ん中を取り除きます.
この操作を際限なく(無限に)繰り返して得たフラクタル図形はシェルピンスキーのガスケットです.
面積は0に収束し,境界の長さは無限大に発散します.

(2)シェルピンスキーのカーペット
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/58/16668258/img_3_m?1429928123

正方形から出発し,9分割し真ん中の正方形を取り除きます.
残りの8つの正方形をそれぞれ9分割して,それぞれの真ん中を取り除きます.
この操作を際限なく(無限に)繰り返して得たフラクタル図形はシェルピンスキーのカーペットです.
やはり,面積は0に収束し,境界の長さは無限大に発散します.

これらの図形は,1次元でも,2次元でもありません.
「長さがx倍になった領域に,現在の図形をy個詰め込む」という操作を繰り返したわけですが
  x^d=y (dはフラクタル次元) より,フラクタル次元は d=logy/logx です. 
フラクタル次元は,(1)ガスケット3角形では1.585・・・,(2)カーペット4角形では1.89・・・・になります.