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美術・図工 菱形30面体像の万華鏡を作る

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Fig.1

 菱形30面体と12・20面体とは互いに双対な多面体です.双対の説明はFig1に図示しました.さらに,12・20面体は互いに双対な正12面体と正20面体とを重ねたときの共通部分でもあります.

注)Fig.1の重な合わせでは,共通部分はサッカーボール[5,6,6]の半正多面体ですが,正20面体のを少しづつ大きくしていくと,[5,3,5,3]の半正多面体(12・20面体)になる点があります.

 

 

 

 

菱形30面体の頂点は,正12面体の頂点(3回軸の位置)と正20面体の頂点(5回軸の位置)とから構成されています.菱形面の短対角線(正12面体の正5角形面の辺長)をaとし,長対角線(正20面体の正3角形面の辺長)をbとすると,a:b=1:Φ=2:1+√5 の黄金比です.正12面体の頂点のうちの8個を使い,一辺Φaの立方体を内接できるので,正12面体の外接球の半径は,R12=√3Φa/2です.
一方,正20面体の外接球の半径は,R20=(b/4)√(10+2√5)です.

寸法をa=2,b=1+√5,Φ=1.618にすると,R12=2.80,R20=3.08が得られます.
実際の製作は展開図に記入した寸法(10倍)にすると作り易いです.

ミラー紙(厚さ0.25mm程度の厚紙)を使って,展開図の鏡を作りピラミッド(内側が鏡)のような形に組み立てます.O点は立体(ピラミッド)の中心に相当し,O点の周囲は光の窓になります.覗くのは菱形面(ピラミッドの底面)の外部からです.