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ダ・ビンチの星型・続き

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数学月間SGK通信 [2017.03.07] No.157
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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桜もずいぶん早く咲いているのを見かけますね.皆様のところでは如何でしょうか.
今回もダ・ビンチの星型を取り上げますが,「星型小12面体」とも呼ばれる形を見てみましょう.
イメージ 1
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/10/17940010/img_0_m?1488810835
シュレフリの記号で書くと{5/2,5}です.
(注)シュレフリの記号{p,q}というのは,
正p角形の面が,頂点でq個集まっているような正多面体を表す記号でした.
この形は,東京都庭園美術館,朝香宮邸,姫宮の部屋の照明器具にも使われている美しい形です.
芯になるのは正5角12面体で,その12個の正5角形の面の上に,それぞれ正5角錘を取り付けた形をしています.
正5角錐の頂点は,それぞれ,正12面体の面に対応していますから,
頂点を結んでできる図形(赤の多面体)は,正12面体に双対な正20面体です.
2次元の断面を見ると,以下の左図の様な星型正多角形(ダビデの星)が見えます.
イメージ 2
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/10/17940010/img_1_m?1488810835
上図の図形は,星型5角形(ダビデの星)と星型8角形(ダ・ビンチの星型)です.
それぞれの図にある赤い輪郭線(それぞれ正5角形と正8角形)は,
凸多角形(凹所のない多角形)で,赤い輪郭線の多角形内部に,黒い線分で描いた図形が星型です.
左のダビデの星を見て下さい.
星型正5角形の辺をA→B→C→・・・→Aと1周りたどると,
辺の向き(→)が2回転することがわかります.(あるいは,
「5角形の頂点を1つ飛ばしで辿って,2周して始めの頂点に戻る」
ということもできます)
このような星形を{5/2}と表記します.
(もし,1点の周りが2x360°という世界があれば,この星型は凸多角形になります)
星型8角形でも同様で,この図形は{8/3}です.

■さて,星型正多面体を見て下さい,正5角錐の頂点の周りに,星型正多角形{5/2}が,
5個集まっていることがわかるでしょう.
従って,この星型正多面体をシュレフリの記号で書くと{5/2,5}となります.