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ペンローズ・タイル張り(2

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数学月間SGK通信 [2016.11.08] No.140
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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前回の予告したペンローズ・タイル張りの後編です.
(2)正5角形のフラクタル配置からペンローズ・タイリングを作る
図をご覧ください
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_4_m?1478536819
正5角形の周囲に正5角形を配置し,一回り大きな正5角形
[平面を隙間なく埋められないのでギャップはあります]を作ります.
これを単位とし,さらに一回り大きな正5角形の内に並べます.
このような操作を次々繰り返すと,全平面に広がる正5角形のフラクタル配置ができます.
ギャップがたくさんできますが,気にしないで配置を進めます.
実は,これらのギャップの中も正五角形(白色)で埋めれば,
最終的には,王冠型や星型のギャップのみが残されることになります.
この図には,この操作を3回繰り返したところまで載せました.

この図をよく見ると,2種類のタイル(黄色と青色の菱形)で置き換えて,
隙間なく平面を張り詰めることがわかります.
黄色いタイル(太った菱形),青いタイル(痩せた菱形)の中の
正5角形のフラクタル配置の名残を参考にしてください.
説明図は
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_6_m?1478536819

このように置き換えると,よく知られたペンローズ・タイリングと同じであることがわかります.

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_5_m?1478536819

ここで作ったペンローズ・タイリングには,中心に5回回転対称が残っていますが,
中心の回転対称を消す配置も可能です.