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数学は眼鏡だ-世界が明確に見える

投稿日時: 07/11 システム管理者

«Кот Шрёдингера» №1–2(39–40), 2018,Математика как очки より
数学者Igor KricheverにGrigory Tarasevichがインタビュー

 

 

 

 

 

 

 

Igor Krichever:
宇宙の法則は内部のどこかで保護されているように思えてならない.

■証拠に基づく世界
数学者は日常生活の中でどのように決定を下すのですか?誰と結婚するか,休暇にどこに行くか,夕食に何を買うか,ジャーナリストとの会合に同意するかなど.このような問題の解決には,スーパーコンピューターが1日動作しても足りない複雑な多基準モデルの構築が必要です.そのような場合,数学者はどのように行動するのでしょうか?

皆さんと同じです.私は,人生においては数学者も普通の人でなければならないと信じています.そして数学はこれを妨げるべきではありません.

知り合いの数学者の多くは,どんな決定も痛々しいほど受け入れます.そして,それを痛々しいほど後悔します.私にとってすべて簡単なことです.子供の頃,両親が読んでくれたマルシャークの詩(*注)を覚えています.猟師の網に引っかかった鳥についての物語です.鳥は猟師に言います:私は小さく,一口で食べてしまう肉しかありません.放してください.私はあなたに貴重な3つのアドバイスができます.持っていないものを後悔する必要はありません.

私はこのルールに従い,何が欠けているのかではなく,何が先にあるのかを考えようとしています.しかし,これは私が数学者であるということと関係はありません.

(*訳者注)サムイル・マルシャークは,「森は生きている(12か月)」で,私たち日本の子供にも知られている児童文学者,詩人です.ここに引用されている鳥と猟師の会話は,詩「愚かさの物語」の一節にあることを探し当てました.たいへん哲学的な詩なので,私の語学力では十分に理解ができないのですが,概略は以下のようです:3つのアドバイスがあるというので,猟師は鳥を自由にしてあげます.3つのアドバイスとは:
持っていないものを後悔する必要はありません.
過去を取り戻すために無駄なことをして血を流さないよう.
ナンセンスを信じるな世界に奇跡はありません.
ということでした.鳥は猟師をだましたようです.

Самуил Маршак サムイル・マルシャーク
Сказка о глупости 「愚かさの物語」

http://www.world-art.ru/lyric/lyric.php?id=4351


確かに,引用されている一節があります.
Я ростом с ноготок, Всего комочек пуха Да мяса на глоток. 
Пусти меня на волю, Доволен будешь сам.
Хороших три урока Тебе за это дам.

Запомни мой совет;
Жалеть о том не надо,
Чего уж больше нет.

この詩全体は,上記ウエブサイトをご覧くださいーーーーーーーーーーー

■数学は、考え方を変えますか?

「数学はあなたに考えることを教えます.どんなステートメントも批判的に知覚し,それが何で構成されているか,それがどのように受け取られたか,そしてそれから何が続くのかを分析することを教えます.「証明する」の意味を,人々が常に理解しているとは限りません.
レーニンの古典的な言葉「マルクスの教えは真実であるので全能だ」は,数学者の観点からすると,悪循環です.そのような発言は信頼できません.
数学は私たちにすべてのことを当然と思わないように教えています.丸ごと信じることはできません.

私はアメリカのコロンビア大学でたくさん働きました.
初等数学のコースでは:数式を与え,生徒に何かを計算させます.その後,上級コースが始まります.これは証明がベースのコース,つまり,証明とは何かを説明するコースです.すでに証明されているか,証明されているものから直接派生した要素の連鎖に,ステートメントを分解することは素晴らしい芸術です(*注).これは長くて難しい旅であるに違いありません.特に,学生時代ではなく,大人としてこの芸術を理解し始めた場合はなおさらです.
(*訳者注)あるステートメント(声明,命題)を,証明済みとその証明から派生するものの連鎖に分解することは,論理的な推論に必要な構造化です.

■ロシアの学校では,「人文科学」という言葉がよく使われます.これは賢いようだが,正確な科学との関係が築かれていないのです.数学を必要としないのでしょうか?

数字を操る機能としての数学は,おそらく必要ありません.統計は社会学や心理学で使われていますが.私の意見では,思考を発達させる科学としての数学は誰もが必要としています.

個人的な例を挙げましょう.私の孫は第57学校の数学の授業を卒業し,現在は高等経済学部の言語学部で勉強しています.数学は彼にとって非常に有用であり,モデルを構築し,何かを計算します.数字を操る算術はまったく役に立たなかったと信じています.彼は論理的に推論し,パターンを特定し,構造化することを学びました.それが最も重要なことであり,算術能力ではありません.退屈な算術は数学ではありません.

繰り返しますが,これは証拠に基づく考え方です.数学は良い眼鏡のようなものです.絵がぼやけないように世界をよりはっきりと見たい場合は,数学を学びましょう.

■信仰と公式

ここでは,厳密な証拠に基づくことがいかに重要であるかを繰り返します.数学的思考は道徳的な選択をするのを邪魔しませんか?会議で手を挙げて,道徳的に間違った決定に反対する必要があるとしましょう.人はこれをしません:論理的な根拠が十分ではないと言って...

この場合,数学的証明を持ち出す必要はないと思います.これは市民の勇気の問題です.あなたの人間の感性で,これが正しいとか間違っているとか感じます.

道徳的な選択は数学的な正当化を必要としませんか?

おそらくそうではありません.宇宙の法則は私たちの内部のどこかで保護されているように見えることがあります.数学は,独自の規則と公理に基づいて,純粋に内部法に従って発展しているように思われます.実験や観察は使用しません.論理のみを使用します.これらはゲームのルールです.しかし,結局のところ,数学は現実の世界を不思議な方法で表現していることがわかりました.つまり,自然の法則は私たちの思考の中に非常に深く隠されています.どのように?誰によって?なんで?私にとって,これは私が答えを見つけることができない謎です.ここであなたは神について考え始めさえします.誰かがそれを私たちの中に置いたのです.おそらく,道徳の法則は同じカテゴリーのものです:それらは私たちの内側のどこかにあります.あなたは何かを信じ,あなたの良心に従って,あなたの考えに従って行動します.少なくともそれが私がそれを理解する方法です.

信仰と証拠の必要性は互いに矛盾していますか?

はい,それらは矛盾しています.しかし,私の仕事では,私はしばしば原則に導かれます:それは美しいので,それは正しくなければなりません.これらは形式化できない概念です.何かがあるという信念,私たちの世界を定義する調和.ただそれを神の奇跡についての素朴な考えと混同しないでください.むしろ,それは世界の正しさへの信念です.私はそれを持ってます.

あなたは世界が正しく配置されていると信じますか?それともあなたはそれを知っていますか?

「信じる」または「知っている」と言うのは完全に正しいわけではありません.私は自然の法則が合理的であると信じています.同時に,私たちの社会の世界は私には深く間違っているように見えます.それは間違った方向に進んでいます.すべてが悪化します.しかし,おそらくこれはただの時代への不平でしょう.

私たちの世界の何が問題になっていますか?例を

人々の考えがシフトし引き裂かれているのは間違っているように思えます.これは特に子供に顕著です.彼らが一人でいることはますます難しくなっています.人々はただ座って考える時間がますます少なくなっています.それは正しくありません.しかし,それは避けられないことだと私は理解しています.

進歩はありませんか?

進歩はそれが進むところに行くのは,自然なプロセスです.それが正しいかどうかはわからない.私はそれが好きではありません.誰もが本は死ぬだろうと言います.本は何か他のものに置き換えられるでしょう.私はそのようなことは好きではありません.しかし,これについて議論することは,風に逆らって唾を吐くようなものです.

避けられない事故
当初は,世界の構造における偶然と必然性の比率をインタビューのメイントピックにしたかったのです.たとえば,シュレディンガーの猫の運命は,粒子の完全にランダムな振る舞いによって決定されることが知られています.そして,ローレンツ蝶はブラジルで羽ばたき,それによってテキサスでハリケーンを引き起こします.それが非常に複雑であっても,非常に異なる現象の間に因果関係があるという事実についての話です.あなたの意見では,チャンスと必然性はどのように相関していますか?

新しい数学的解決策を提案するとき,あなたは創造するようです.しかし,その一方で,あなたはただ何であるかを発見します.会議で,私の偉大な同僚は,詩人がその行を書かなければ,それは二度と現れないだろうと言いました.しかし,あなたが定理を証明しなければ,遅かれ早かれ他の誰かがそれを証明するでしょう.結局のところ,それなしでは,あなたは先に進むことができません.ある意味で,これは必然性であり,数学の発展における予定説です.ここにはランダムなものは何もありません.

しかし,ランダム性は時間の文脈に存在します.発見が今日行われなかった場合,それは後,たぶん5年後,あるいは50年後,あるいは150年後かもしれません.科学の発展は事前に決定されていますが,科学が進む道はほとんど偶然です.

物理プロセスの数学的モデルを構築する場合,ランダムな要素はどの程度重要ですか.

それはすべて,モデル,実際のプロセスの必要な単純化の程度に依存します.コインを投げるとしましょう.実際,表または裏がでるのは常に事前に決定されています.それは,体の初期位置,指によって加えられる力,風,および他の多くの要因に依存します.しかし,表裏のどちらかが偶然にでると想定します.これは実際のプロセスの近似です.十分に正確な場合もあれば,そうでない場合もあります.

あなたの伝記では,偶然と必然性はどのように相関していますか?

私の人生はかなり退屈で,まっすぐです.私がモスクワ州立大学のコルモゴロフ寄宿学校を卒業した後,すべてが比較的明確でした.したがって,おそらく,私は人生における事件の重要性を誇張する傾向はありません.私には,すべてが論理的であり,一方が他方に続いているように思われます.ランダム性は,一般的な背景の小さな波紋です.

あなたがこの寄宿学校に行き着かなかったら?

わかりません...私はタガンログで最高の学校の1つであるチェーホフ学校で勉強しました.数学の先生が,コルモゴロフ寄宿学校に入学した元生徒と一緒に私を連れてきました.もしこれが起こらなかったら,私はモスクワにたどり着くことはなかっただろうし,私の人生は違ったものになっていただろう.しかし,これを証明するのは非常に困難です.私はやはり数学者になると思います.道のりが長くなるでしょうけれど.

物理学など,他の分野の科学者になることもできます.

はい,私は現在の専門分野の数学物理学者です.しかし実際,私はもちろん数学者です.そして,物理学が常に私にとって問題の発生源であったというだけです.

昔々,上司,そして同僚で友人のセルゲイ・ペトロヴィッチ・ノヴィコフと私はボソン弦の量子化の問題に取り組みました.そして彼らはよく言いました:結果として物理理論が何を得るのかは不明であり,任意の代数曲線のために私たちが思いついたローラン-フーリエ基底は数学に永遠に残ります.

同時に,私は問題は外の世界から来るべきだと信じている数学者のその部分に属しています.原則として,それらは最も興味深いものです.過去20〜30年間で,数学の最も注目すべき成果が物理学から生まれたアイデアに関連していることは不思議ではありません.