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掛谷の問題

前号では長さの問題をみましたが,今回は面積について少し考えましょう.
(掛谷の問題)
平面に置いた長さ1の針(線分)を平面上で1回転することができる平面図形のうちで
面積が最小なものは何かという問題です.この問題は1916年に掛谷宗一が提起したものです.

可能な図形候補の4つの図を,http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/KakeyaProblem.html から引用します.

 

 

  

 

 

 

 

 

多分,皆さんの思いつく答えは,この4つのタイプのうちの一つでしょう.

(1) 直径1の円 面積はπ/4=0.7854
(2) ルーローの3角形 面積は(πー√3)/2=0.7048
 ルーローの3角形というのは,1辺1の正3角形の各頂点を中心に半径1の円弧を描いて囲まれた図形です.
 ルーローの3角形を断面に持つ棒は,円柱と同じように定幅曲線なのでコロとして使えます.
 その面積は,√3/4+3x(π/6-√3/4)=π/2-√3/2 と求まります.
(3) 高さが1の正3角形 面積は1/√3=0.5774

これらの図形の面積は,(1)>(2)>(3)の順で小さくなっています.
それで,(3)が最小面積の答えかと言うとそうでもありません.
(4)のように凸でない(内側に反った曲率の星型)図形でも針の回転が可能で,
そして,(4)の図形の面積はいくらでも小さく(面積0に)できることがわかります.
これは,1919年のベシュコビッチの定理からの一つの帰結でもあります.


さて,面積とは何かというのは難しものです.
われわれが常識で使っているのはジョルダンの面積です.
フラクタル図形の面積0ではジョルダンの面積の定義では面積が測れません.
無限回の操作がからむ図形にも使えるのがルベーグの面積です.

 

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