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家庭科・調理 角の3等分

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数学月間SGK通信 [2017.11.07] No.192
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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与えられた任意の角の3等分は実在しますが,定規とコンパスだけでは,
これを作図できないということは多分ご存知でしょう.
以下は,ギリシャの幾何学者達が熱心に研究した不可能作図問題です:
(1)与えられた正立方体の2倍の体積の正立方体を作れ
(2)与えられた円と同じ面積の正方形を作れ
(3)任意に与えられた角を3等分せよ
もちろんこのような図形は実在しますが,作図手段を,「定規とコンパスだけを有限回使って」と制限して作図ができるか?という問題です.

■長さa, bの2つの線分が与えられたとき,直線定規とコンパスだけを用いて,
加法a+b,減法a-b,乗法a・b,除法a/b,開平√a
の作図が可能なことは,以下の図をご覧ください.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

定規とコンパスで作図できる長さ

これ以外の作図(例えば,立方根の作図)は定規とコンパスでは出来ません
(証明は難しいのでスキップ).

 (1)ではx3=2(a3)だから,2の立方根の作図が必要
 (2)では,x2=π(r2)だから,πという無理数の開平の作図が必要
 (3)では,x3-3x-a=0という角3等分の方程式の根であるxの作図が必要です.
[ただし,aは,与えられる角度Ω(cosΩ=a/2)により決まる]
例えば,Ω=90°(a=0)のときは,x=√3の作図になり,これは可能です.
しかし,一般角の場合,この3次式の解には3乗根が入ってきますので,作図は出来ません.
注)この角3等分の方程式の導出は以下の図をご覧ください.

 

 

 

 

 

 

 

 


任意の角度の3等分方程式

例として,Ω=60°(a=1)のときは,x3-3x-1=0となり,
p+q√r (p,q,rは有理数)の形の解を持たないので,
角の3等分の作図は(定規とコンパスでは)できません.

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