2016年8月の記事一覧

黄金比3角形のパズル

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数学月間SGK通信 [2016.08.30] No.130
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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暑かった8月も終わろうとしています.学校の夏休みも終わりですね.
今日は図形のパズルです.難しい計算は必要ありません.
図形を見て考えるのみです.ユークリッド幾何の世界ですから
我々が身に着けた直観や常識で間に合い,特別な知識は要りません.
「錯角(平行線とこれに交わる直線があるときにできる角度)は等しい」
ことを使いますが,これも日常生活で身についている直観でしょう.
このように,図形の問題は特別な知識は必要ありません.
諦めずに図形を眺めていましょう.そのうちわかります.

小梁修(OSA工房)の黄金三角形パズルの一つを紹介します.
(1)正五角形の中を図のように分割して作った3種類の三角形があります.
Q1.これらはどれも2等辺三角形ですが,何故でしょうか.
ヒント:両底角が等しいと2等辺三角形になります.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_3_m?1472477472

これらの3種類の三角形の面積に関して,以下の関係があります.
(水色の三角形)+(黄緑色の三角形)=(オレンジ色の三角形)
Q2.これを証明してください.
(補助線一本でわかります)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_0_m?1472477472

(2)水色と黄緑色とオレンジ色の三角形パーツを使って
色々な大きさの正五角形を作りました.
(1)の正五角形(基本正五角形と呼ぶ)の面積を1とすると
Q3.作った色々な大きさの正五角形の面積はいくらでしょうか.
(5a^2:c^2:a^2:b^2 の面積比になります)
ここには基本正五角形(辺長a)の他に,
5x基本正五角形(辺長√5a),大正五角形(辺長c),小正五角形(辺長b)
が出てきます.
c^2=a^2+b^2 の関係があることを証明してください.
(この関係は,これらの三角形の面積が S_c=S_a+S_b であること
 [Q2でも証明している]から得られます)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_2_m?1472477472

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ランプシェードへの多面体応用

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数学月間SGK通信 [2016.08.23] No.129
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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8月21日は,とっとりサイエンスワールドin鳥取です.
とっとりサイエンスワールドは,鳥取県と鳥取数学教育会が主催し今年で十年目.
すっかり市民に定着したイベントになりました.
このメルマガが皆様に配信される日は,数学月間最終日の翌日23日です.
数学月間は7/22~8/22:これは22/7=3.14・・・,22/8=2.7・・・にちなみます.
今年のとっとりサイエンスワールドは,この期間内に,西部と東部の2か所で
実施されました(さらに,9/11は中部で実施の計画があります).
私はとっとりサイエンスワールドに参加するために鳥取に行き不在ですので,
今週のメルマガは予約発行です.
サイエンスワールドの様子は,後日のメルマガにご期待ください.

■さて,今回はランプシェードのデザインに利用される多面体の鑑賞です.
これは,球に近い多面体(いわゆるジオデシック構造)です.

www.creema.jpにある広告の写真を見て下さい.
これは,日球(https://www.creema.jp/c/hitamaya/item/onsale)さんの作品.
球面正20面体の面の細分で得られるジオデシック構造です.基礎となる球面正20面体の頂点は,
球面正3角形の頂点が5つ集まっている点の12個です.
20の面をそれぞれ細分化しジオデシック構造を作るには,各球面正3角形を4つに細分します.
全体で80個の球面三角形の面からなります.
https://d12ciics2fd1e.cloudfront.net/user/108977/exhibits/516682/1_c1e528919e76aed18f78765ae22229c698360adb_583x585.jpg

参考となる正20面体の形のランプシェードは,以下のところで見ることができます.
おりあるて(https://www.creema.jp/c/holiarte)さんの作品です.
https://d12ciics2fd1e.cloudfront.net/user/73358/exhibits/555659/1_f1e2caf473c660f6ddf04858aef8e7bdaf110412_583x585.jpg

■ジオデシック・ドームは建築家フラーが好んで作った建造物で,
炭素原子だけ60個で作るサッカー・ボールの様な構造の分子C60(フラーレン)
の語源になったものです.
バックミンスター・フラーのジオデシック・ドーム
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Biosph%C3%A8re_Montr%C3%A9al.jpg/800px-Biosph%C3%A8re_Montr%C3%A9al.jpg
(wikipedia.orgより)
正20面体からスタートして,各面を細分化していくのですが,日球さんのランプシェードの形は,
正20面体の最初の細分化で得られ,正20面体の各面となる3角形の各辺の2等分点を球面に投影して作ります.
この細分化を何度も繰り返すとだんだん球に近い多面体(ジオデシック構造)になります.

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とっとりサイエンスワールドin鳥取

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数学月間SGK通信 [2016.08.16] No.128
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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お元気でしょうか?皆様のところではお盆は如何お過ごしでしょうか.
このところ先週の猛暑は少しおさまり助かりますね.
私は,日曜日からお盆で田舎に来ております.
母の新盆は7月に済ませましたが,8月は田舎のお盆で,従兄の新盆や,義父母の墓参に来ています.
そして,17日は父の祥月命日ですので,田舎からとって返してこちらの墓参に行きます.
そうこうするうちに,とっとりサイエンスワールドin鳥取(8月21日)が迫ってきました(私は前夜の夜行バスで出かけます).
17日には墓参に行く前に,材料を発送しないと....もうタイムリミットです.今週は全く余裕がありません.

■鳥取サイエンスワールドin鳥取(8/21,とりぎん会館)
お近くの方はぜひご参加ください.子供も大人も楽しめる数学祭りです.すっかり市民に定着したイベントになりました.鳥取県,鳥取数学教育会のスタートから11年の活動に敬意を表します.

私の万華鏡ワークショップは,30人のクラスを5回実施する計画でいます.
なかなか予定通り行きませんので,10人分ほど予備も準備します.
さて,今回作る万華鏡の映像写真をとりあえず掲載しておきます.
映像を見ると12回の回転対称性があり,点群の対称性は12mmです.
この対称性は2枚の交差する鏡で生成されるのですが,鏡の交差角は何度でしょう?(答え15度).
万華鏡の映像写真↓
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/07/17616707/img_0_m?1471269173

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球に近い多面体を作る

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数学月間SGK通信 [2016.08.09] No.127
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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子供たちが楽しそうな夏休みの最中です.7月31日の鳥取サイエンスワールドin米子では
約800人の入場者があり,120人分用意した万華鏡は,3時で材料がなくなりました.
次回開催は,8月21日の鳥取です.お近くの方お寄りください.

■正多面体とは,1種類の正多角形の面で囲まれた立体で,どの頂点の周りも同じ状態になっている立体です.
正多面体は「プラトンの多面体」とも呼ばれ,3次元では5種類(正4面体,正6面体,正8面体,正12面体,正20面体)
しかないことが知られています.正多面体の記述には,シュレーフリの表記法が用いられます.
例えば,{3,5}という表記は,正3角形の面が,どの頂点でも5つ集まっている状態です.
これは正20面体で,もっとも球に近い正多面体です.
■もっと球に近い多面体(正多面体ではない)を作るにはどうしたらよいでしょう.
例えば,ゴルフボールのディンプルを思い浮かべてください.
均一にデインプルを配置するにはどうしたら良いか?1つのディンプルの正面から見て.
その点の周りが均一ということは,ディンプルを面に見立てて,その面が正多角形であること.
すべてのディンプルが同じということは,同じ正多角形で囲まれているということ.
つまり,正多面体になっていることと同じです.したがって,厳密に均一な対称性でディンプルを配置するということは,
プラトンの多面体に相当する5種類しかあり得ません.
■しかし,近似的には,例えば,正20面体から出発して,面を分割していくと,
多面体の面の数がどんどん増加し,形も球に近づけることができます.
ジオデシック・ドーム(フラーの設計した建築物.C60分子(フラーレン)の語源になった)は,
このような形です.ドームの壁は,すべて3角形でできたトラス構造です.
■さて,図を参照しながらその作り方を説明しましょう.
出発点となる正20面体(灰色の球内部に内接する青色の正20面体)(A)から出発します.
外接球の中心Oから,正20面体の正3角形面の辺の中点に向かって線を伸ばし,
外接球面をよぎる点を三角形面の分割点とします(B).
この操作により,1つの正3角形の面は4つの三角形の面に分割されます.
この分割で生じた小さな3角形は,正3角形ではありません.
こうしてできた4倍の面をもつ80面体の多面体を図(c)に示します.
さて,(C)をもう一度分割すると,320面体の多面体(E)が得られます.
このようにして,ますます球に近い多面体を作ることができます.
各3角形の面にディンプルを配置すれば,いくらでも多くのディンプルを,近似的に均一に配置できますが,
この作り方からわかるように,スタートとなった正20面体の対称性は変わりません.素性は隠せないのです.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/17605260/img_0_m?1470654264 ←Fig

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とっとりサイエンスワールド2016米子

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数学月間SGK通信 [2016.08.02] No.126
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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今年も鳥取サイエンスワールド(10年目)の夏がやって来ました.
とっとりサイエンスワールドのFacebook ←(ここをクリック)
主催は,鳥取県,県数学教育会です.鳥取大学,地域教育学部が中心になり
小中学校の先生方や多くの高校生ボランティアが活躍します. 
7月31日(米子),8月21日(鳥取),9月11日(倉吉)です.
楽しいイベントがたくさんありますから.皆さんお寄りください.
私も万華鏡で参加します.万華鏡は1時間くらいで完成します.楽しいですよ.
今年作る万華鏡は,新型です.
予習になるように,万華鏡の仕組みを簡単にまとめておきます.
この記事は31日の米子に出かけるために事前に書き予約配信です.実際の配信は事後になります.

■万華鏡の原理
互いに平行に向かい合った「合わせ鏡」は,1列に無限に並ぶ像を作ります.
合わせ鏡に挟まれた部屋(緑色)を「鏡室」と呼んでおきます.
鏡室が鏡でひっくり返った鏡像は白いままの部屋にしました.
もう一回,鏡でひっくり返ると鏡室と同じ向きの映像になります.
詳しく言うと,緑(あるいは黄色)と白色の部屋が並んで市松模様ができます.
繰り返しの単位は,このペア(鏡室の2倍)です.
合わせ鏡が互いに平行でなく,交差角がθのときの図も合わせて掲載しました.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/77/17588477/img_0_m?1469773013

交差角がθのときは,1列に並ぶ像は円周上に並びます.円周上に並んだ像が,反対側でうまくつながる条件を考えると,
全円周角360°が,繰り返しの単位2θで割り切れることであることがわかるでしょう.つまり
360°/2θ=n(整数) このとき生じる万華鏡の映像には,n回回転対称性があります.
もちろん,この回転対称性の生じる原因になったのは,2枚の鏡です.

■今年,皆さんが作る万華鏡は,2枚の鏡の交差角が15°のものです.
これなら,360°/30°=12 となり割り切れます.12回回転対称性が生じるはずですね.
以下のような映像が観察できるでしょう.この対称性をもたらした原因は2枚の鏡(赤と青)です.
この図形の対称性を点群の記号で書くと 12mm となります.
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=17588477&no=1

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