ステレオ投影図の利用

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数学月間SGK通信 [2017.04.18] No.163
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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先週は,ステレオ投影の原理を説明しました.
ステレオ投影は,角度を保存する(交差する線の角度を変えない)性質がありました.
この球表面から平面への投影法は,
地図を作るのにも利用されていますが,
結晶や多面体の対称性を記述するのに用いますので
先週の続きで応用例まで掲載しておきます.

■点群の表示に使われるステレオ投影図
・多面体を球の中心に置いて,球の中心から多面体の各面に下した垂線が,
球表面を過る点が,多面体の面の球表面への投影点とします.
・球表面の投影点(南半球)を,球の北極と結び,南極での接平面上に投影します.
こうして,多面体の面のステレオ投影像が作れます.
イメージ 1
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/09/18002609/img_0_m?1492443598

このステレオ投影の例で用いた多面体の見取り図を示します,
この多面体は立方体で,稜のに沿って2種類の面があるものです.
この多面体の対称要素の配置も見取り図に記入しました.
イメージ 3
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585160/76/17100276/img_4_m?1491828971

作成した対称要素のステレオ投影図は以下のものです.
イメージ 2
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/09/18002609/img_1_m?1492443598

この多面体には,各面に垂直にさまざまな回転対称軸があります.
ステレオ投影により,これらの点群の対称要素の配置図を,平面の円内に得ることができます.
各面の対称軸の位置(■,▲など),および,鏡映面(赤い円弧),対称心などが