タグ:美しい幾何学

 Fig.1

 菱形30面体と12・20面体とは互いに双対な多面体です．双対の説明はFig１に図示しました．さらに，12・20面体は互いに双対な正12面体と正20面体とを重ねたときの共通部分でもあります．

注）Fig.1の重な合わせでは，共通部分はサッカーボール［5,6,6］の半正多面体ですが，正20面体のを少しづつ大きくしていくと，［5,3,5,3］の半正多面体（12・20面体）になる点があります．

菱形30面体の頂点は，正12面体の頂点（3回軸の位置）と正20面体の頂点（5回軸の位置）とから構成されています．菱形面の短対角線（正12面体の正5角形面の辺長）をaとし，長対角線（正20面体の正3角形面の辺長）をbとすると，a:b=1:Φ＝2:1+√5　の黄金比です．正12面体の頂点のうちの8個を使い，一辺Φaの立方体を内接できるので，正12面体の外接球の半径は，R₁₂＝√3Φa/2です．
一方，正20面体の外接球の半径は，R₂₀=(b/4)√(10+2√5)です．

寸法をa=2，b=1+√5，Φ=1.618にすると，R₁₂=2.80，R₂₀=3.08が得られます．
実際の製作は展開図に記入した寸法（10倍）にすると作り易いです．

ミラー紙（厚さ0.25mm程度の厚紙）を使って，展開図の鏡を作りピラミッド（内側が鏡）のような形に組み立てます．O点は立体（ピラミッド）の中心に相当し，O点の周囲は光の窓になります．覗くのは菱形面（ピラミッドの底面）の外部からです．

平面は２次元ですから独立な並進ベクトルは２つ a, bです．従って，
a, bを2辺とする平行4辺形が平面を充填する並進の単位（単位胞）となります．
３つの並進ベクトルがとれる凸平行6辺形もタイル張りが可能ですが，
a, b, cの間に, c=b-aの関係があり，このうちで独立な並進ベクトルは２つです．

．

平面をタイル張りできる凸6角形の形は，
ここに示した平行6辺形を含むタイプの他に，
さらに2タイプあることを，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）
凸6角形タイルで平面の充填ができるものは，
以下に図示する３つのタイプです．

タイプ１：2つのタイルが並進の単位を作る
（凸平行6辺形はこのタイプに含まれる）
タイプ２：4つのタイルが並進の単位を作る
タイプ３：3つのタイルが並進の単位を作る

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2017.09.12］ No.184
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
とっとりサイエンスワールドin倉吉は，8月27日に開催されました．
1,250人の来訪者があり，例年のように盛況でした．万華鏡は120人作りました．
昨年は，鳥取サイエンスワールドの終わった直後，
翌々日に地震がありびっくりしました．多くの方が避難生活をし，
サイエンスワールドの会場だった梨っこ館もガラス天井が落ちたそうです．
隣のプールは7月20日になってやっと利用開始にこぎつけました．
白壁土蔵群，赤瓦館でも地震の被害がありました．
今年，その赤瓦二号館を訪れたとき，見つけた御殿まりの写真です．

これらはみんな一人の方が作ったものだそうです．お会いしたいものでしたが，
残念ながら不在でした．どれも良いできですね．
正6面体群（正8面体群）と正12面体群（正20面体群）が美しく目につきます．

Q1：さて私はどれを選んだでしょう？

私が選んだのは，前者の方でした．

これと同じ対称性の図形を掲載しましょう

これはともに，半正多面体［4,6.6］ですが，立方体のx,y,zの方向に，4回軸があり，
体対角線の方向に3回軸があります．2回軸のある方向も確認してください．
結局，これらは皆，球面正6面体｛4,3｝や正8面体｛3,4｝と同じ対称性（点群）になります．

Q2:　球面正12面体｛5,3｝や菱形30面体はどれとどれでしょう．

これらの対称性（点群）は，正12面体やその双対の正20面体と同じです．
菱形30面体は，12･20面体；あるいは半正多面体［3,5,3,5］の双対図形で，これら３つの対称性はすべて同じです．

Q3:　この他に半正多面体［6363］があります．探してみましょう．

■反転の利用

反転の性質を使うと，パップスの定理の様な難しいものを簡単に証明できます．

このような図形はアルベロス
（靴屋のナイフ）といいます．
この中に面白い幾何学があります．

円弧αと円弧βに挟まれたア
ルベロスの領域に，互いに接す
るように円のチェーンω0, ω1,
ω2, … があるとき， 円ωnの
中心と直径ABとの距離は円ωn
の直径のn倍である．
（パップスの定理）

［以下の証明ができます］
円ω2の中心は，線分ABから円ω2の直径の2倍だけ離れていること．
① 点Aから円ω2へ接線を引く．両接点を通りAを中心とする円γは，円ω2
と直交します．（なぜなら，円の接線は接点での半径と直交するから）
② γを反転円にして，色々なものを反転してみましょう．
円ω2 は自分自身に．円α，β は，それぞれ 直線α’，β’に，
円ω1，ω0 は，それぞれ円ω1’，ω0’に，なります．
③ 円ω2，ω1’, ω0’の直径はすべて同じだから，パップスの定理が証明
された． （なぜなら，平行な直線α‘とβ’に挟まれているから）

■円による反転鏡映の性質
①反転円の円周上の点は，反転しても元の点と同じ位置．
②反転では，円は円に変換される（直線も半径∞の円の仲間）
下図に反転円（赤い円）による，反転鏡映の例を示します．
●図１・反転円Oと交差する円Cは，交差の２点を共有する円cに変換される．
●図２・反転円Oと直交する円Cは，自分の上に変換される．
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円によるそれ
ぞれの鏡像になる．
●図３・反転円Oの中心を通る円Aは，直線aに変換される．
特に，円Bが反転円Oと交差する場合は，交差する2点をよぎる直線ｂに変換される．
③反転円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたアポロニウスの窓も拡張された万華鏡の映像と言えるでしょう．