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美術・図工 伝統文様の練習問題

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数学月間SGK通信 [2019.03.26] No.260
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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周期的な2次元平面の互いに独立な並進ベクトルは2方向とれます.
これら2本の並進ベクトルが挟む平行4辺形を単位胞といいます.
並進ベクトルの組み(単位胞の形)を対称性で分類したものがブラベー格子です.
2次元のブラベー格子には,図に示す5種類があります.
そして,それぞれに対応する格子の図も掲載しておきました.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

さて,以下に伝統文様を10種挙げました
図の中に赤色ベクトルで,並進の周期を書き込んだ図もあります.
1.書き込んでない図にも赤色ベクトルを書き込んでみましょう.
赤色ベクトルの選び方はいろいろ可能ですが,
単位胞の形(赤色ベクトルで囲まれた平行4辺形)が
A正方形,B長方形,C120°の菱形,D任意角度の菱形, 
の4種類のどれかにあてはめるようにとれます.
2次元のブラベー格子の5種類のうち,一般形の平行4辺形に属する伝統文様は,
ここの例には挙げていません.
2.それぞれの伝統文様は,A,B,C,Dのどのタイプに属するでしょうか.
3.伝統文様のいくつかを,どこかで見たことがあるでしょうか.
私は立涌を壁紙で見かけます.

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美術・図工 小梁(OSA工房)のパズル★

この透明な立方体の箱(単位胞)が周期的に並ぶと,ページ65の空間の充填ができます.結晶はこのように単位胞が並んだ周期的構造です.
小梁(OSA工房)のパズルは,単位胞だけ取り出して充填させるパズルです.

   図1                   図2                  図3
図1は,透明な単位胞の底面中央に正8面体の上半分が見える様子です.この正8面体の残りの下半分は,見えませんが立方体の底面を突き抜けて存在します.
周期的な空間ですから,透明な箱(単位胞)の天井と床は同じもので,天井から箱内に向かって存在とイメージすると良いです.
単位胞内の底面の4隅には正8面体の1/8が見えます.この正8面体の残りの部分は,周期的な空間なので,図2のように立方体の壁を突き抜けて存在します.
図1のように並んだ正8面体の間隙には正4面体が4つ入ります(図3).

   図4                   図5                 図6

透明な単位胞の6つの面に,半割の正8面体を図4のように貼りつけました.単位胞内に6つの半割正8面体が入っています.単位胞の中心で,これら6つの半割正8面体の頂点が出会い,正8面体は稜を共有してつながります.
単位胞の中に含まれる正8面体の数は,半割正8面体6個と単位胞の8つの隅に1/8の正8面体がある(6×1/2+8×1/8)ので4個です.
図4をよく見ると,単位胞の内部にあるこの多面体(注)には8個の正4面体の間隙があることがわかります.従って,このような単位胞が繰り返される空間は,充填される正8面体と正4面体の個数比は1:2です.
注)半割の正8面体6つと,正4面体8つでできる多面体は,半正多面体{3,4,3,4}です.

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美術・図工 立方体を2倍にする★

昔,ギリシャのデロス島で疫病が横行しました.神の怒りを鎮めるために預言者の言により,アポロンの立方体の祭壇を2倍の大きさにしなければなりません.長さが2倍では体積が8倍になってしまいます.体積を2倍にするには,現在の立方体の祭壇の長さを1とすると,新しい祭壇の1辺の長さは2の3乗根=1.259921・・・にしなければなりません.直線定規とコンパスを有限回使ってこの長さを作るというのがこの難問です.プラトンも考えました.実は,2の3乗根の作図は,直線定規とコンパスでは作図不可能でした.この他に,任意の角度の3等分.与えられた円と同じ面積の正方形の作図も直線定規とコンパスを有限回使って作図することが不可能です.いろいろな人々が挑戦しましたが出来ませんでした.これらの作図が絶対不可能であることが証明されるまでに2,000年もの年月を要しました.
■直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは,
与えられた長さの 加法,減法,乗法,除法,開平(平方根) です.
開平を繰り返せは,2のべき乗根(4乗根,8乗根,...)は作図できますが,
立方根(3乗根)は作図できません.
従って,有理数が与えられたとき,それらの加・減・乗・除と開平の操作を有限回繰り返して得られる数(a+b√cの形の数)が,直線定規とコンパスで作図できる数字です.

参考:
長さの加法,減法はすぐわかると思います.
乗法,除法,開平の作図法は,方冪の定理(以下の図を参照のこと)を応用します.
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/50/18283150/img_0_m?1539587485

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美術・図工 対称性から明らかである


■テープをこのように結ぶと正5角形ができることが知られていますが
なぜでしょうね.証明してください.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

右の図は正5角形の外形と内部の対角線でできる星形が見えます.
対角線と正5角形の辺は平行で,赤く着色したものがテープであり,
テープの一方の端が対角線の星形を,もう一つの端が5角形の辺を
交互に入れ替えながら描くことが,軌跡を辿ってみれば確かめられます.
私は,正5角形であることの証明をどのようにしたらできるか
まだ考えたことがありません.案外難しそうです.
どうぞ良い証明ができたらここで教えてください.
いずれにしても,正5角形になることは,対称性から明らかです.
「この5角形の図形には,5回回転対称性があるので,この5角形は正5角形だ」
と言うのは如何ですか.一目でこの5角形は5回回転対称だとわかります.
これなら面倒なことを言わずにすむので,対称性は非常に強力な概念です.
このような論法をいろいろな所で使いたいのですが,乱暴ですか皆様どう思ますか.
■紙を2つ折りにすると折り目が直線になることを証明してください.
これも当たり前なのに,証明が面倒な問題です.
この問題に対する私の解答は,「対称性から明らかである」と言っておきます.

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