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鈴木大拙館

鈴木大拙
■機械に何でも頼ると機心machine mindsになる.
A machine mind is a calculating mind. Such a mind is not clean and pure.「荘子」の外編

■You cannot understand yourself simply by thinking about yourself.
You can understand yourself better by understanding others.
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イスラムの星のパターンの作り方★★

ドアや家具などに見られるイスラムの美しい模様は千年以上の歴史があります.
イスラムの星のデザインは,対称性の高い星型が配列しているのが特徴です.
繰り返し模様全体を支配する対称性は,17種類の平面群のどれかになるし,
並進(周期性)と両立しうる回転対称は,2,3,4,6回軸に限られます.
しかし,イスラムの模様に散らばる星形は対称性が高いのです.高い対称性はもちろん全域に作用はできず,その星形の内部にだけ作用する局所的なものです.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

上図の模様を例にとると,8回対称の青い星型が,正方形格子の周期で配列していることがわかります.
青い星型にある8回対称性は,青い星型内部と緑の周囲領域,草色の星形5角形の領域までは有効ですが,
オレンジ色の8角形までは有効ではありません.
青い星の中心にある8回対称軸はオレンジ色8角形の付近では,4回対称軸に低下してしまいます.
これは,周期的な平面では8回対称軸は存在できない(正8角形のタイルでは平面を張れない)から当然のことです.
ある点のまわりの対称性という言葉は注意が必要で,その点周囲の「局所的」対称性を指す場合もありますが,平面「全域」で有効な対称性を指すのが普通です.この例では,青い星型の対称性は8回対称ですが,この星の中心にある回転対称軸は4回対称軸です.
このパターンの単位胞は,オレンジ色の8角形の中心を結んでできる正方形の格子で作られるタイル1つです.

■Girihタイル
正方形と正8角形を組み合わせた平面のタイル張りの例が下図(a)です.この例のテッセレーションを,(4,8,8)と記述します[1つの頂点のまわりに,正4角形,正8角形,正8角形が集まっている].

 

 

 

 

 

 

 

 

(b)図は,正4角形および正8角形の内部に装飾線を描いたGirihタイルです.
平面をGirihタイルでタイル張りしておいて,タイルの縁の輪郭を消すと(c)図のパターンが得られます.

■ここで,始めに掲載したイスラムの模様も,上の例と全く同じであることを確認してください.
始めに掲載した模様の正4角形タイルや正8角形タイルの形は,草色の星型の中心を結んでいくと明らかでしょう.
正4角形や正8角形の内部の装飾線はどのようなものであるかもお確かめください.

 

 

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準結晶タイル張りデザイン

Volume 90 Issue 50 | p. 64 | Newscripts
Issue Date: December 10, 2012

マイケル・フリッケ博士(オハイオ州のBoehringer Ingelheim's Ben Venue 研究所の化学者)は,2011年の化学ノーベル賞受賞者シェヒトマンの準結晶を知り,自宅の新しいパティオのデザインにこれを用いることを思いつきました.そしえ,フリッケは1年がかりで2012年11月にパティオを完成しました.
1200個の特製のコンクリート舗装石を準結晶パターンに配置したものです.
写真は,子供が準結晶タイル張りのパティオに立っているところです.彼のTシャツには「悪役のようにゆったり」と書かれています.

フリッケは,パティオに使う2種類の舗装石(太った菱形と痩せた菱形)の木製型を作製しました.木型を使用して彼は1日に15枚のコンクリート舗装石をキャストし,10か月生産した後,ペンローズの非周期タイルと呼ばれるパターンに配列し始めました.
この配列を作るのは「忍耐が必要」だったようです.準結晶が広く受け入れられるまでに,シェヒトマンが嘲笑や猜疑を乗り越えたように.

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2020年も宜しくお願いします

新年おめでとうございます.2020年も宜しくお願いいたします.蕎麦好きな私ですが,年越し蕎麦を蕎麦屋で食べたのは初めて,除夜の鐘を撞きに行ったのも初めてです.行列があれば止める主義の私ですが,今回はどちらにも並んでしまいました.

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数当てカードの数理★

4x4の16個のマスに0~15の数字が書かれたカードがあります.このカードの上に孔のあいたマスクカードを重ね「あなたの思った数が見えますか」と尋ねる.これをマスクカードを変えて4回行えば,相手が心の中で思っていた数が当てられるというのが,この数当てのゲームです.

どのような仕組みがあるのでしょうか.秋山久義さんが,2019年7月のパズル懇話会で発表されています.
今日は,秋山久義さんの発表「数当てカードの諸相」から引用して,その仕組みを解説します.

まず,16個の数の配列は,ランダムに配置したふりをしていますが隠れた規則があります.
例えば次の2つの方法があります.
(1)左右対称の位置にある2つの数字の和は常に15になる.
(2)回転対称(2回対称あるいは点対称)の位置にある2つの数字の和は常に15になる.

このために右半分(あるいは左半分)を知れば,全部の数の配置がわかります.
つまり,相手の意中の数が見えない場合は,その数との和が15となる数の方が見えているのです.

 

 

 

 

 

 

 

 

さて,0~15の数を2進数で表すと次の表のようになります.a,b,c,dはそれぞれ2^3,2^2,2^1,2^0の桁に相当します.

 

2進数表示で3桁目を表すマスクカードがa,2桁目を表すマスクカードがb,というように
4枚のマスクカードができます.
それぞれの数の上に乗る4種類のマスクカードで,2進数表示の1のところに孔を開ける(網掛け部分)
ことにします(逆に統一してもかまわないが).
例えば,13の場合は,aとbとdのマスクカードに孔(網掛け部分)をあけ,cのマスクカードには
孔はあけません.

以上で,仕掛けの準備ができました.

これで,質問を開始して,数字が見えるといったマスクカードはそのまま横に置き積み重ねていきます.
見えないといったマスクカードは
(1)の場合には裏返して重ね/(2)の場合は180°回転して重ねるのです.

結局,4枚のマスクカードを重ねたものは,
相手の心の中で思っている数字の位置に孔があいた状態になっているはずです.

 

 

 

 

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エッシャー視覚の魔術師

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数学月間SGK通信 [2019.12.24] No.298
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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12/20はアップリンク渋谷に映画,「エッシャー 視覚の魔術師」を見に行きました.
エッシャー(オランダ,2018)の版画作品からは,数学者としてのエッシャーは良く知られていますが,
どんな生活をした人物かはあまり気にしたことがありませんでした.
映画では,エッシャーの息子たちへの取材が面白かったです.作品にまつわるエピソード
[1955年作「表皮」から1956年作「婚姻のきづな」に発展]など,よくわかりました.
ムッソリーニ時代の全体主義に息子が染められるのを嫌いイタリアからスイスに移住しました.
人物像のわかる良い映画でした.

最後の方でエッシャーが国際結晶学会の講演に呼ばれていくところがありましたが,
私の専門は結晶学で,結晶学会では昔からエッシャーの周期的模様を教材にしており,
結晶学者には,エッシャー作品は馴染み深いものです.

アルハンブラのモザイクには平面群の17種のすべてがあるという説と1種類かけているという説があります.
どちらでしょうか?それともどちらも違うのか.実際にアルハンブラには行って調べて見たいものです.
ペンローズ・タイリングを発見したペンローズも,アルハンブラのタイルからヒントを得たと聞きます.
私も,イスラームのデザインに立戻って,タイル張りの見直しをしてみようと思っています.

映画のエンドロールにスナップ映像が流れますが,その映像の一つに,大道絵師の光景が写りました.
たまたま昨夏,ニューカッスルの通りで見かけたエッシャー作品ばかり道に描いていた大道絵師のようです.

http://cinejour2019ikoufilm.seesaa.net/article/escher-review.html シネマジャーナルへ掲載いただきました.

■エッシャー作品の生まれるまで
コクセターとエッシャーはオランダで開催された1954年の国際数学者会議で出会いました.
1958年にコクセターはこの分割を掲載した論文*をエッシャーに送り,
これがエッシャーの「極限としての円」の作品群を生むことになります.
http://sgk2005.saloon.jp/blogs/blog_entries/view/46/a655be2fc4e933a93af15e269d8b684e?frame_id=54

極限としての円の数学については,以下のブログを参照ください.
http://sgk2005.saloon.jp/blogs/blog_entries/view/46/2e340c06148db50daae618a772629e15?frame_id=54

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