ブログ倉庫

窓内の円

2019.02月号より,文 Юрий Белецкий +図 Алексей Вайнер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


■オデッサ州立フィルハーモニー協会(建築家-A.I.ベルナルダーツィ)
の窓は,円と弧のパターンで装飾されています.
この窓は,すばらしい幾何学問題を提供しています.

白板に描いたように,小さな3つの円の中心$$O_{1},O_{2},O_{3}$$は1つの直線上にのります.証明してください.

 

 

 

 

 

 

 

 

■この問題をみて思い浮かべるのは,以前掲載した以下の2つの記事です.
アポロニウスの窓,アルべロス(靴屋のナイフ)という形のなかに面白い幾何学世界があります.
反転の利用ーパップスの定理
https://note.com/sgk2005/n/n56056054e23c

インドラの網と反転円
https://note.com/sgk2005/n/nec1396b13bd4


アルべロス(下図のオレンジ色の形)の中で,パップスの定理が成立しています.しかし,円$$ω_{2}$$と円$$ω_{1}$$の中心を結ぶ線は,水平ではありません.

 

 

 

 

 

 

いま問題になっているオデッサの窓内の円では,$$O_{1},O_{2}$$を結ぶ直線は水平になるのですが,その原因は,外側の大きな円(半径$$r$$)内で重なり合う2つの円(半径$$ar$$)に接するように,半径$$xr$$の円を決定することによります.しかる後に,この半径$$xr$$の円に接するように,半径$$yr$$の円を描くと,この円の中心は半径$$ar$$の中心線上に存在するようです.
問題のオデッサの建物図では,$$a=2/3$$(大きな円の直径を3等分する位置に柱がある)のようですが,実は,同じ半径の円が重なっていれば(任意の$$1/2<a<1$$)成り立つようです.

 

接する4つの円の半径の間にはデカルトの定理という式が成り立ちますが,それを計算するのは容易ではありません.幾何で解くことにしました.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

円の接する条件を図示すると,辺の長さが,$$1-x,1-a,a+y,x+y$$の4角形になります.4角形の対角線は,$$a+x,1-y$$です.この条件は関係する円が接するための条件です.$$1-x$$の辺が垂直なのは対称性から明らか,半径$$yr$$の円の中心と,半径$$ar$$の円の中心を結ぶ$$a+y$$も垂直として,$$x$$と$$y$$を解くと,

 

この$$x,y$$を用いて,互いに対向する辺の長さを求めると,互いに等しいことが証明でき,矛盾は出ません.

 

従って,この4角形は長方形になり,辺$$x+y$$は水平であることがわかります.

0

桃子さんよりの解答の投稿

この式を証明していきたいと思います。n桁の数字を$$(x_n),(y_n),(z_n)$$とすると、

$$ (x_n)=(10^n-4)/6 $$

$$(y_n)=(10^n)/2$$

$$(z_n)=(10^n-1)/3$$

と表せる。元記事より

$$ x_{n}^{3}+y_{n}^{3}+z_{n}^{3}=10^{2n}x_{n}+10^{n}y_{n}+z_{n} $$


を証明すれば良いことがわかる。

$$x_{n}^{3}+y_{n}^{3}+z_{n}^{3}=((10^{n}-4)/6)^{3}+(10^{n}/2)^{3}+((10^{n}-1)/3)^{3}$$

$$ {10^{2n } }x_{n}+10^{n}y_{n}+z_{n}=10^{2n}(10^{n}-4)/6+10^{n}10^{n}/2+(10^{n}-1)/3 $$
$$=10^{3n}/6-10^{2n}/6+10^{n}/3-1/3$$

ゆえに

$$(x_n)^3+(y_n)^3+(z_n)^3={10^(2n)}(x_n)+(10^n)(y_n)+(z_n)$$


が成立する。

大まかなものだとこういう感じです。

0

菱形多面体

菱形30面体とサッカーボール(あるいはフラーレン)の関係の続編です.
菱形は正多角形ではありませんから,菱形多面体は正多面体ではありませんが,正多面体や準正多面体と密接な関係がありますので,菱形多面体に集中して見直しましょう.菱形12面体と菱形30面体があります.それぞれの菱形多面体は,準正多面体6・8面体と12・20面体の双対多面体として得られます.
(注)双対多面体というのは,面と頂点を入れ替えて対応させて作る多面体です.例えば,準正多面体の6・8面体は,正6面体の面と正8面体の面よりなり,正6面体の面を対応させた頂点と,正8面体の面を対応させた頂点とで,菱形12面体の頂点は構成されています.

 

(美しい幾何学p.21より)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■菱形12面体は,空間を隙間なく充填できる立体です.菱形12面体の面を合わせて空間を充填すると,立方面心格子の配列ができます.

 

 

(美しい幾何学p.61より)

 

 

 

 

■菱形12面体の見える万華鏡を作る

 

 

(美しい幾何学p.44,45より)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 さて,菱形12面体の菱形面の対角線比は,1:√2であることを確かめてください.
菱形30面体の菱形面の対角線比は,黄金比2:1+√5であるを確かめてください.


■IQライトと呼ばれるランプシェードの話が,kvantik(2019.07)に載っていました.重さはたったの100グラムで,30枚の薄いフレキシブルプレートを組み立てて作ります.各プレートは菱形の形状で,4つのフックがついていて組み立てます.このデザインは,デンマークのデザイナーHolger Strömによって1973年に作られたそうです.
名称のIQはInterlocking Quadrilateralsーー連動した四角形の略.
菱形面が5つ集まる場所と3つ集まる場所があることに注意して,組み立てましょう.

0

膜の振動モード,クラドニ図形

 
カバー写真は私のバイオリンですが,低音域に共鳴点があり振幅が大きくなり音が開くような気がするのです.バイオリンの音質が何とかならないかと思って,昔,高い本だと思いながら気まぐれで買った「楽器の音響学」安藤由典という本が手元にあります(残念ながら役には立ちませんでした).この本のp.132に,バイオリン胴板の振動モードの図(小橋,時田,日本音響学会誌,Vol.8,p.15,'52より引用したもの)があります.本自体古いし引用文献も大変古いので,もっと詳細な実験がその後どこかに発表されていると思います.特に調べていませんので,もしお気づきの方おられましたらお教えください.

 

バイオリンは駒から1cm付近の弦を弓で振動させ,駒から指板上の指で押さえた点までの長さの弦が振動し,その振動を胴で共鳴させます.共鳴箱の役割が重要です.定在波の振動の節となる場所は節点,2次元の面ですから,定在波の振動の節点は節線となって領域を取り囲んでいます.
振動モードの図で白い部分と斜線部分は振動方向が逆になっているので,斜線との境界線が節線です.周波数が上がるにつれて細かい領域に分かれて行くのは納得できるでしょう.楽器は特別な共振域ができないよう設計されあのような形になるのだ思いますが,ある音域が共振気味に耳元で鳴るのは良くありません.私はそれを見抜けずに迷った挙句良くない方を購入してしまいました.


■ここで,クラドニ図形の次の動画をご覧ください.


振動の腹では粉末は払いのけられ節線に集まります.この実験で見られる興味深い図形をクラドニ図形といいます.
振動から生じる節線についてのさまざまな疑問は,200年以上にわたって科学者を魅了してきました.1809年,クラドニがパリを訪問した後,フランス科学アカデミーはコンテストを発表しました.その目的は,「弾性表面の数学的理論を構築し,それが実験データとどの程度一致するかを示すこと」でした.この賞は1816年にソフィー・ジャーメインが受賞しました.その数学的モデルは,少し後のグスタフ・キルヒホフによって完成しました.

ここでこの話題を取り上げたのは,「トリニティオプション-サイエンス」第16号(310),2020年8月11日に,フョードル・ナザロフ,ミハイル・ソディン,アレクサンドル・ログノフによるこのテーマの紹介記事で,
アレクサンドル・ログノフが,2020年のヨーロッパ数学会のEME賞(数学への卓越した貢献が認められた35歳未満の10人の研究者に4年ごとに授与)を受賞したニュースを見たからです.

 

■周波数が上がると定在波の節線集合の形はだんだん細かくなりますが,どのように変わるのでしょうか.
バイオリンやギターなどの楽器は,圧縮に抵抗する弾性体の板を振動させますが,膜の振動であれば一定張力のみの弾性体ですみます.実際の楽器の振動計算をするのが目的ではなく,この節線集合サイズの振る舞いを知るのが目的ですので,アレクサンドル・ログノフは扱いが単純化できる膜モデルを用い,ラプラス微分方程式の各周波数に対する固有関数のゼロ節線集合のサイズに関するヤウ・シンツンとニコライ・ナディラシビリの予想を証明しました.

■この問題は,工学的には,2次元のFourier解析で膜の振動を正弦波の固有振動の重ね合わせに分解し,ラプラス方程式の固有関数を与えられた境界条件で解く有限要素法でコンピュータを用い数値解を得ることができます.
ラプラス演算子をΔ,振動数ωの固有関数 v_ω(x) は微分方程式
Δv_ω(x)+ 4(π^2)(ω^2)v_ω(x)= 0 の解です.節線集合は,条件 v_ω(x )= 0を満たすxの集合で,与えられた境界条件を満たすように解く問題です.


Fourierはナポレオン時代の数学者ですが,熱伝導の微分方程式の境界値問題を解くために開発したFourier解析を公開したのは1822年でした.従って,現代なら使う2次元のFourier変換もクラドニの時代にはありませんでした.

しかしながら,問題を精密に解くことと,現象の本質を理解することとは目的が違います.計算すればそうなるとか,一口ではいえないというのでは,本質が理解できたことになりません.

節線集合に関する有名な問題は,40年以上前に出された節線集合サイズに関するヤウ・シンツン予想です.節線の長さが,周波数ωの線形関数として増加する予想しました. それらは通常,膜を小さな正方形に分割し,それぞれのサイズを推定します.そのような推定のための便利なツールは,倍加指数(ハウスドルフ次元に似る)であり,立方体Qから倍の立方体2Qに変えたとき,固有関数の最大振幅の比の対数を倍加指数と定義しました.倍加指数が有界のままであれば,立方体Qに該当する節点集合のサイズも有界であるとの予想です.ニコライ・ナジラシビリは,ヤウ・シンツンによって提起された問は,調和関数の関連する質問に還元できることに気づきました.しかし,正方形が小さな断片に分割されたときに調和関数の倍加指数がどうなるかという問題は,2016年にアレクサンドル・ログノフとエフゲニア・マリンニコワの研究が発表されるまで進展していませんでした.

0

東京の感染収束と相互作用

実効再生産数が東京では,まだ1を少し超えているようですが,他の県では1未満になってきたようです.以下のサイトに,都道府県別の実効再生産数の時系列の変化のグラフがあります.

 

Rt Covid-19 Japan都道府県別コロナウイルスの感染拡大・収束状況(実効再生産数Rt)をグラフ化したWebサイトrt-live-japan.com
実効再生産数Rというのは,1人の感染者が新たな感染者を作る人数のことです.Rが1未満なら感染流行は減少収束し,1より大きければ感染は拡大します.しかしながら,各都道府県の実効再生産数がすべて1未満になっても,感染拡大の起こる可能性を警告している論文を前回紹介しました.その論文では,全体をコミュニティと病院という2つのグループに分割したモデルで,コミュニティ内の感染に関する実効再生産数と病院内の感染に関する実効再生産数がともに1未満であっても,全体の実効再生産数が1を超す(感染拡大が起こる)可能性が指摘されました.その原因は,コミュニティから病院に感染させる場合も,病院からコミュニティに感染させる場合もあるからです.

都道府県別の実効再生産数が,それぞれ1未満になっても,各県間の人の移動接触により各県間の感染が起こるので,全体の実効再生産数が1より大きくなることは十分あり得ます.油断は危険です.

■数学の形式としては,次の行列を作ります:
対角要素には,各都道府県の実効再生産数を並べ.行列のその他の要素には,異なる県間の感染率を対応させます.県間の感染率は,相当する県間の人の接触確率のようなものです.このような行列を作るにはいろいろなデータが必要ですが,この行列ができたとすると,この行列の固有値を求める数学の問題になります.最大の固有値が1を超していれば,全体の実効再生産数は1を超し伝染の拡大が起こります.

私たちの社会は,都道府県がそれぞれ孤立して独立でいるわけではなく,互いに相互作用(人の接触がある)しているので,独立な個別地区の予測と,全体の予測は大変異なり,このような計算をしてみないとわかりません.

(注)実効再生産数の計算方法は,Anne RがCoriらによるものが,山中伸弥のホームページに紹介されています.

0

フィボナッチ数列とルーカス数列

 

 

 

 

 

 

 

 

■直線上にn個の点が並んでいるとします.点が連続しないように選んで点の集合を作ります.そのような集合の選び方A_nは何通りありますか? ただし,点を1つも含まない集合は空集合Φと言いますが,集合の選び方の1つに空集合もあります.

・n=1のとき: Φ,{1}     → $$A_1=2$$
・n=2のとき: Φ,{1},{2}   → $$A_2=3$$ 
(注){1,2}の集合は点が連続するので条件を満たしません.

・n=3のとき: Φ,{1},{2},{3},{1,3} → $$A_3=5$$

・n=nのときは: n点目を選ばない $$A_{n-1}$$個の方法と,n点目は選ぶがn-1点目は選ばない $$A_{n-2}$$個の方法があります.
従って,$$A_n=A_{n-1}+A_{n-2}$$ ,これは,フィボナッチ数列$$F_n$$の定義ですが,初項が2なので,$$A_n=F_{n+2}$$になります.

■円周上にn個の点が並んでいる場合はどうでしょうか.今度はn番目の点と,1番目の点が連続してはダメです.この場合の集合の選び方をB_n個とします.

・n=1のとき: Φ,{1}     → $$B_1=2$$ 
・n=2のとき: Φ,{1},{2}   → $$B_2=3$$
・n=3のとき: Φ,{1},{2},{3}  → $$B_3=4$$ 
(注){1,3}は繋がるので条件にあいません.
・n=nのとき:
n点を除いた場合は$$ A_{n-1}$$通り,n点がある場合には,自分n点と両隣り(n-1と1)の計3点は除くので$$A_{n-3}$$通りがあります.

この両者の合計が一般式です:$$B_n=A_{n-1}+A_{n-3}=F_{n+1}+F_{n-1}=L_n$$

このような数列 $$B_n$$ はルーカス数列$$L_n$$と呼ばれます.

0

大丸百貨店(心斎橋)の幾何学模様★

今は閉鎖されてしまったyahooブログの仲間「さなのブログ」に大丸百貨店(心斎橋)の美しい幾何学模様の写真がありました.私は大阪にもずいぶん行ったのですが,心斎橋には縁がなく大丸百貨店もとうとう見ずじまいでした.さなさんから,ヴォーリズ設計の86年間皆に幸せを与え続けてきた美しい建物が取り壊されると教えられ惜しい限りです.そこで,私のyahooブログにこの記事を書きました(2015.12.31).その後,新しい建物が完成し2019.9.20に大丸百貨店は再開しました.ウイリアム・メリル・ヴォーリス(*)の懐かしいデザインが極力残されて,懐かしい雰囲気が感じ取れよかったと思っています.

(*注)壁紙模様で有名なイギリス人William Morrisではありません.アメリカ人のWilliam Merrell Voriesです.ヴォーリズはプロテスタントの伝道者としてひとり来日し,戦争中も日本に帰化し日本で骨を埋めた人です.近江兄弟社の前進を設立しヴォーリズ建築事務所も設立しました.明治学院チャペルをはじめ数多くの美しい建物を手掛けています.「屋根をかける人」門井 慶喜著, KADOKAWAは,ヴォーリスのすがすがしさが伝わる良い本です(学校出たてのヴォーリスが日本への船に乗っている場面から始まります)

■取り壊し前の建物の美しい幾何学模様を鑑賞しましょう.以下で取り上げる模様は建築物でよく使われ,イスラム起源の模様の雰囲気があります.


この写真(貴重な取り壊し前)は,さなさんのブログの写真に遠近法の補正をかけて,模様を正面から見たように修正したものです.ただし,写真に見られる8回対称の花模様は窪んだドームの奥にあるため,視差の効果で中心から寄ってしまいました.実際はそれぞれドームの中心(4回回転軸のある位置)にあります.この写真の繰り返し模様にはp4mmの対称性があります.

 

 

 

 

次の図も,さなさんのブログの写真に遠近法の補正をかけて,正面から見たようにし切り出したものです.建築には半円しか使われていませんが,全円を想像してみると頂点のなまった星形10角形のようです.この星形は五芒星を2つ重ねたらできるもので,黄金比がたくさん現れます.このような模様は東京ジャーミーの説教壇や門扉にも見られます.

 

 

 

 


 

この写真の下側に見られる繰り返し模様も取り上げましょう.


この模様には6回回転対称軸が配列しています(3回や2回回転対称軸も生じています).青い線は鏡映対称面です.繰り返し模様の対称性はp6mmです.

 

 


さなさんのブログのもう一つの写真から,切張りをして繰り返し模様を再現したものが以下の図です.ちょっとずれたところができましたが,パターン全体の様子は想像できるでしょう.


この模様も美しく大変複雑なものですが,4回対称性のある繰り返し模様であることがわかります.対称性はp4mmです.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■現在の大丸百貨店

これらの写真を見ると,建て替えられた建物にもヴォーリスのデザインが活かされているのがわかりますね.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

四角い車輪,三角の車輪★

国立数学博物館MoMath(National Museum of Maths)は,米国唯一の数学博物館で,ニューヨークのマディソン・スクエアに,2012年12月15日オープンしました.
ここには30以上の対話型展示がありますが,ホールの展示で目立つのは,正方形の車輪の3輪車が滑らかに走る光景です.

たいへん興味深いので,床面の曲線がどのような形であるかを計算してみました.
ここに掲載する結果は,2013年7月22日の数学月間懇話会(第9回)で谷が発表したものです.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

ついでに,応用問題として計算した3角形の車輪の結果を(Fig.2)に掲載します.

■Fig.2 三角の車輪

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注)2013年10月2日に開設された東京理科大学「数学体験館」にも同じ企画が採用されている.

 

0

美しい幾何学ー美しいものには理由がある

昨年9月に表題の本(技術評論社)を出版しました.この本の構成は8つの章からなり,全章を通して万華鏡で繋がっています.1,2章は有限図形の対称性(点群).3,4章は周期的な空間の対称性(平面群).これらの映像は,万華鏡で作り出すことができます.5章は万華鏡.6章は円による反転という数学的な鏡を用いた万華鏡.7章はフラクタル操作という数学的な鏡を用いた万華鏡です.8章は東京ジャーミイで,イスラミック・デザインを鑑賞します.写真撮影にご協力いただいた東京ジャーミイの本屋さんにも本書を置いていただいています.


■この本に,第9章を続けて書くとすれば,イスラミック・デザインになります.イスラムデザインの特徴は,黄金比(すなわち5回対称や10回対称)がちりばめられていることです.しかし,5回対称性と2次元(あるいは3次元)世界の周期性とは両立できませんから,ちりばめられている5回(あるいは10回)対称性はロゼット内部だけに局所的に作用し,世界の全域を支配するものではありません.そのため,あたかも我々の住む3次元に高次元宇宙が投影しているようで不思議な魅力を感じます.イランのDarb-i Imam寺院(1453)の壁には,その500年後にヨーロッパで発見されるPenroseタイリング[自分の中に自分と同じパターンが繰り込まれる]と同様なパターンがすでに見られることをPeter LuとPaul Steinhardtが報告しています.イスラムの繰り返し模様は準結晶や基本領域が分割されて写像される万華鏡と似たところがあります.

0