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数学月間SGK通信 ［2016.04.26］ No.112
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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レイティング（評価）とランキングの数理
Amy Langville（ラングビル）
Professor, Mathematics Department, Operations Research Analyst,
College of Charleston

2012年にCarl Meyerとの共著 “No.1は誰か：レイティング（評価）とランキングの数理” が出版
［訳註：共立出版より同名の訳書あり］されると，企業，法律事務所，同僚，学生などから，
彼らのデータを解析支援する要棲を定期的に受けるようになった．
最近の興味深いプロジェクトのいくつかと，今年の数学月間のテーマ”予測の未来”
にふさわしいツールを説明しようと思う．
まず，タイムリーな応用［MAMは4月］は，3月の狂気（March Madness）です．
毎年恒例のNCAAカレッジ・バスケット・トーナメント．数百万人のファンが
この一月続くトーナメントの各試合の勝者を当てようとします．
［訳者より：ブラケット・チャレンジというのは，インターネットで行う
CBS sports serviceが提供する各試合の勝者を当てポイントを競うことらしいが，
よく知りません．米国事情に詳しい方，米国バスケットの3月の狂気と
ブラケット・チャレンジについて教えてください］．

まず，同僚Tim Chartier（Davidson College）と一緒に，数学モデルのみに基づき
ブラケットを提出する方法を学生に教えます．
そのときの2つのモデル（Colley and Masseyモデル）は，チームの評価に線形システムを用い，
もう一つのモデル（Eloモデル）は，反復更新を使います．
長年にわたって，学生のモデルはよい結果を出し，ある年などは提出された
すべてのブラケットの99のパーセントを得点しました．
毎年，モデルに洗練を加えるために，学生たちは質問をしデータを集めます．
例えば，コーチ，チーム団結，トーナメント経験のような因子をどのように導入したら良いのか？
怪我は因子にどのように入れることができるか？
我々は、今年のシンデレラ・チームを予測することができるだろうか？

もう一つのスポーツ応用：オリンピック・アスリートのデータ分析で，
私の学生と私は米国オリンピック委員会を支援しました．資源の効率利用の観点から，
委員会はどのアスリートがメダルをとるか予測したい．この問題を解くためには，
回帰とシミュレーションを用います．他の問題は，国の資金がどうであれ，
アスリートにより多くのメダルを獲得する動機を与えなければならない．
この第2の問題に関する適切なデータを得ることは困難だった．
それで，英国を含む他国の促進プログラムがうまくいったかどうかに調査を広げました．

次に，Amazonの「これを買った顧客はこれも買う」のような推薦システムを議論します．
また，どの映画を顧客に推薦するべきか，どの歌が特定のリスナーのプレイリストを満たすか，
どのスポーツ用品を顧客に推薦するべきかなどを予測したい小規模の新興企業からの要請に答えるために，
私は同僚Tim Chartierとチームを組みました．共通のテーマは，企業が集めたデータを，
顧客の行動に影響する役立つ予測のために，どのように使用するかということです．
この問題を解くために，典型的にはクラスタリング(クラス分け)と最隣接クラス分けのツールを用います．

昨年，Rootmetricsから，携帯電話を評価する現在の彼らのシステムの改良の依頼がありました．
学生Tyler Periniは，うまく接続し伝達できる物理過程をエレガントにモデルしたマルコフ連鎖を立て，
現在の評価システムのもつ多くのタイがある曖昧さをなくすことができました．
Charleston大の同僚，哲学教授と心理学教授，からは，
彼らの謙譲プロジェクトで集めたテキストデータの解析の要請がありました．
ゴールは，書かれたサンプルを解析して謙譲の個人レベルを決定することです．
学生 Tyler Perini は，テキストを混合するツールを開発しました．
それは，与えられた短いテキストサンプル（ツイートやfacebook今何してるより長くない）で，
著者が謙譲か謙譲でないか予測する．
謙譲な著者は，"and”，”we”，”all”，”each other”を含み，
謙譲でない著者は，"they", "people","them", 排除的"or"などの距離を取る言葉を使う．
次のステップで，人文科学教授が研究するのは，自己抑制である．
スピーチに基づき自己抑制の低さを予測する我々のツールが，
子供たちの行動訓練を提供することを願っています．

もう一つのテキスト・マイニング・プロジェクトでは，Charleston大の大学院生は，
今年の大統領選挙戦で候補のテキストを分析しています．
彼らは，若干の面白い傾向を見つけました．
たとえば，Donald Trumpの辞書（彼の使う語彙）は，Hillary Clintonのおよそ3分の1です．
フィールドが狭くなって，有権者がどのように1人の候補から他方の候補者へ支持を移すかを予測するために，
彼らは測度の同一性とマルコフ連鎖を使います．

最後に，同僚の妻は私に非常に難しい問題ー卒業の後の医学実習生と病院との安定結合問題ーを提案しました．

データが至る所にあることは，上述の問題の多様性から明白です．
衛星からスマートフォンまで，大小のソースから，データは絶えまなく集められています．
将来は，指数関数的に多くの予測解析法を持つことになり容易に予測ができるようになります．
現在は，数学，コンピューター・サイエンス，データ科学，統計学を専攻するには素晴らしい時代です．
これらの組み合わせはさらにうまく行きます．

ここまでは，MAMのエッセイ　http://www.mathaware.org/mam/2016/essay/　からの翻訳でした．

選挙の開票で，まだ開票率が35%なのに当確が出たりします．これはレイティングの予測で
トーナメントの勝ち数の推移から1番を予測するのと同じようなものです．
また，webサイトのページを渡り歩き，あるサイトで買い物をしたとすると，
それに導いたwebサイトの貢献率はどのようなものでしょうか．
googleのweb各ページのレイティングはどのように計算するのでしょうか．
サイト間の遷移行列を作り，この行列を作用させた結果新しい状態になると考えると
何度も遷移が繰り返された結果収束する状態が各ページのランキングになります．
つまり，遷移行列のn乗の固有ベクトルを求めることになります．
ここに線形代数が使われるし，現在の状態だけで次の状態が決まるというマルコフ連鎖にもとづき
遷移行列を決めることができます．

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数学月間SGK通信 ［2016.04.19］ No.111
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今月14日夜に，熊本県益城町で震度７の大きな地震が起きました．マグニチュードは6.5でした．
地震規模のスケールであるマグニチュードは，リヒターの発案当時は便宜的なものでしたが，
今日では，ずれの面積と変位，地面の剛性から計算できる地震の仕事エネルギーを対数で表示したものです．
14日の地震のマグニチュードは，巨大地震ほどではないが，震源が10kmと浅いため，
局地的に地表が激しい揺れとなり大きな被害がでました．
その上，この地域はフォッサマグナ（活断層が集まっているベルト地帯）の上にあり，
次々と余震が続きます．震源もフォッサマグナに沿って熊本県や大分県由布市に移ってきました．
心配ですね．被害お見舞い申し上げます．皆様のところは大丈夫でしょうか．

阿蘇の東側から佐伯，および，阿蘇の南側には，むかし行ったことがあります．
峡谷で囲まれた台地が島のようになった地形で，交通は大変だったそうですが，豊かな芸術文化が伝承されています．
通潤橋のある山都町では人形浄瑠璃が印象に残りました．怪我や避難やたいへんな日々と思います．
応援しております．はやく落ち着きますように．

■フォッサマグナは西日本では，佐田半島から大分，由布，九重，阿蘇を通り，天草，八代海に沿って走り，
川内原発の付近に至るようです．活断層の調査は露頭でできますが，川内原発の地下を通っていても見えません．
再稼働の根拠となった九電の調査は３つの断層延長上の1つのみの結果で，規制委は不十分のまま再稼働に踏み切りました．
フォッサマグナの走る佐田半島の付け根には伊方原発が，八代海側には稼働中の川内原発があります．
すべての原発は即時廃炉を進めるべきですが，特に地震の活動期にある九州で稼働させた川内原発は停止すべきです．
原発事故でどのような責任がとれるというのでしょうか．
川内原発は発電を続けています．それなのに送電先がなく被災地に電源車41台+81台を17日までに配るという．
役立たずの原発ですね．太陽光などの地域分散型の発電システムにすべきです．

■この機会に，手元にあった第４紀地図（1987年版で古いものです）を30年ぶりに開いてみました
（実は一時期，私は地学を教えていたことがあります）．参考までに地図を引用掲載しました．
伊方原発，益城町，フォッサマグナの大体の位置は，私がこの地図に書き込んだものです．
阿蘇の周りなどに見られる黒い線が活断層です．
活断層とは，第４紀後期（数十万年前）以降に何度か動いた断層で，地震の原因になる可能性があります．
第4紀は258万年前（寒冷化に向いだした）からで，人類出現の時代．
古い原人が発見されるたび，第3紀と第４紀の境は遡っていき，
258万年前は，2009年に国際地質科学連合が定義したものです．
地球が生まれた45億年前を1月1日の0時とし，現在を新年が始まる0時と例える地球カレンダーなら，
第4紀後期は大晦日の夕方以降です．ごく最近動き，まだ動きそうな断層が活断層ということになります．
活断層であるかどうかは露頭で，断層のできた時期の鑑定になります．

■この地域の乗るユーラシアプレートの下には，フィリピン海プレートがもぐり込んでいます．
地殻と上部マントルの地殻と一緒に動く部分を合わせてプレートと呼び，厚さはおよそ100kmです．
地球の半径は6,500kmですから，半径65mmのボールに例えるなら，プレートの厚さは1mmです．
プレートは，マントル対流に乗ってふわふわ動きぶっつかりもぐり込む皮みたいなもの，
その上に我々は暮らしています．

以下に，第4紀地図を掲載：
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/62/17401362/img_1_m?1460875928

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/62/17401362/img_2_m?1460875928

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数学月間SGK通信 ［2016.04.12］ No.110
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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数学と社会の架け橋＝数学月間
数学月間は7/22～8/22（22/7＝π，22/8=e）の期間です．
私たちは，この期間に数学への興味を惹き起こすイベントが
各地で盛んになるように応援しています．
数学月間の初日の7/22には毎年，懇話会を開催しています．
今年で数学月間懇話会は第12回になります．
計画中の懇話会情報：正式アナウンスに先立ちお知らせします．
無料です多くの方のご参加をお待ちしています．
日時：7月22日，14:00～17;00
場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
１．亀井哲治郎　数学の周辺
２．田渕健　統計と医学
３．松原望　統計と社会
（演題はいずれもまだ仮題です）
問い合わせ先：sgktani@gmail.com（日本数学協会，数学月間の会）
今年のテーマは，統計学です．
世の中は不確かなものやことばかりで確率で記述されます．確率の正しい理解が必要です．
従来，得られなかったようなデータも多量に収集できる時代になりました．
でも，データ収集が恣意的であったり，不合理な解析をしたりすると
どんな結論でも導くことができるので，だまされないように要注意です．

今年（4月に実施中）の米国MAM（Maths Awareness Month）のテーマは「予測の未来」．
・外れた世論調査ー予測の限界を知ろう
・あなたの健康のために
などの興味あるエッセイがあります．ちょっと紹介しましょう．

2015年5月の英国総選挙では，与党の保守党が過半数の326議席を獲得し，
労働党は232議席でした．スコットランド民族党は大躍進の56議席です．
選挙直前の世論調査では，保守党と労働党の差がこれほど広がる予測はありませんでした．
最後の世論調査と投票日の間に逆の一揺れがあったわけですが
なぜこれほど予測に誤差が出たのでしょうか？
調査委員会の報告書（2016年3月）によると，サンプリングが正しい代表値でなかった
ということですが，理想のランダム・サンプリングをすることはできるのでしょうか．
予測を頭から信じることは危ないことです．
今年は，日本も重要な選挙の年です．支持率調査などでも
現実が正しく反映されているのか怪しいところがあります．

2001年にフラミンガム心臓研究の研究者たちは，拡張期血圧，収縮期血圧，脈拍圧を，
冠動脈性心臓病リスク心の予測因子として使用できる結果を発表しました．
この研究により，冠動脈性心臓病の予測能力が向上しました．
異なる年齢層にたいする予測因子の強度を解析し，
それぞれの年齢層でどの予測因子が最も支配するか結論を得ました．
健康とウェルネスのための予測因子は，いろいろな理由で多くの分野で改善が進んでいます．
利用可能なデータは劇的に拡大し，モデリングや解析に用いる技術と手法は向上しています．
一つの分野での進歩は，別の分野の進歩につながり，また広がります．
研究者は以前よりも，より深くより洞察に満ちた結論に到達することができるようになりました．
フラミンガム心臓研究は1948年に始まったが，その後数回の拡大があり，
続く世代集団だけでなく，人口の多様性の増加を反映している集団を追加しました．
これにより，研究者達は，人口の幅，および，多様な健康問題の側面の両方を
表すデータの使用ができるようになった．
この研究のために，研究者達は，原初の集団に20才から79才の集団を統合した．
さらに，研究者達は，数年前には不可能だった場所でのデータ収集をしています．
フィットネスの追跡者は，活動レベルや睡眠パターンのような個人生活の情報を
容易に定量化できる恩恵を受けている．

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数学月間SGK通信 ［2016.04.05］ No.109
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前号（108号）に，色置換の性質の項で誤りがありました．お詫びして訂正します．
今号は，訂正した全文と，新たな話題の両方を載せますので，長くなります．

12枚のユニットで作るユニット折り紙の立体は下図のようなものです．

 この立体は，正8面体の面（正3角形）の上に，
頂角が直角の三角形ピラミッドが乗っている形です．
これから作る展開図では，ピラミッドは正8面体の面（正3角形）に
射影されているので，ぺちゃんこになっています．

正8面体の展開図の各面を，このように塗り分けるようにユニット折り紙を組み立てると，正8面体の各頂点のある4回回転軸（x,y,z軸の方向に3本ある）で4色置換が起こり，正８面体の面の真ん中を通る3回軸（4本ある）は，1色は保存し，残る3色を置換する3回軸だということがわかるでしょう．もちろん辺の真ん中を通る6本の2回軸の色置換も完璧です．

このような色の配置は実際にユニット折り紙で実現可能です．作ってみてください．
ユニット折り紙の規則では２つの直角3角形ピラミッドをつなぐユニットは1つのみですから，展開図の三角形の辺を越えて，対角上に同色の配置を作ります．展開図では，もう一つの対角上にも同色がある（辺を挟んで×になる配置）ように思うかもしれませんが，そちらは1つのユニットではありません．辺の両側で分かれる別々のユニット（同色だが）です．４色のバリエーションはいくらでもできますが，
配置に関しての解はただ一つのようです．
ただし，ユニットの作り方で右回りと左回りのものがあります．

この立体を眺めると4回軸の周りに，4つの色の帯の大円（緑，黄，青，ピンク）が見えます．
各色の帯の大円は，各3回軸を地球の地軸と見立てたとき赤道に相当します．
そして，その3回軸が保存する色が，帯状に現れるのです．

この立体には4色置換が行われる4回回転軸（3本）があり，外から（x,y,z軸の正方向）見て右回りに以下の順です：
x軸：黄→ピンク→青→緑，
y軸：黄→ピンク→緑→青，
z軸：黄→青→ピンク→緑

3色置換が行われる3回回転軸（4本）があります．
z軸（ｚ>0方向）の外から見て右回りに以下の順に置換が起こります：
黄→緑→青（保存：ピンク），黄→緑→ピンク（保存：青），
ピンク→青→緑（保存：黄），黄→ピンク→青（保存：緑）

ーーーーー
新たな話題
■正20面体（あるいは双対な正12面体）
60ユニット（正20面体の面の上にピラミッドが乗っている）の立体の塗り分けを考えます．
以下は展開図

6色を使って塗り分けます．
5回回転軸は6本ありますが，それぞれを地球の地軸とすると
それぞれの赤道に相当する大円に配置される1色が保存され，残りの5色が順番に置換されます．
3回回転軸は10本ありますが，それぞれ2組の3色置換になります．
ーーーーー
■平面
「大川組子」（さなさんブログから教えていただきました）という伝統工芸があります．
シンプルで精緻な組子で感動します．ななつ星の写真をご参照ください．

これらの組子はどちらも三角の格子でできています．ただし，どちらの組子も
格子の中身に，対称性は同じだが異なるモチーフが2種類（あるいは3種類）あり，
単純ではない面白い図案になっています．
さて今日は，この組子とユニット折り紙の関係についてです．

ユニット折り紙で作る多面体の場合と異なり，平面ですので正三角形が頂点で6つ集まっています．
そして正三角形の格子の上にピラミッドが乗っています．
図はユニット折り紙でこれを作り真上から見たものです．
6回軸の色置換を完全にするためにこの図では６色使いました
（地図の塗り分けで，4色問題というのがありましたね．長い間未解決の難問でしたが今は証明されています．この図の場合は，実は3色あれば塗り分けられます．一色の周りは4辺で，皆頂点で接続していますから）

そして，これは壁紙模様の平面群の一つで6回対称です．
色置換の対称性も完全にするには6色で塗り分ける必要があります．
色の区別ができる場合の単位胞タイルは大きな白い4辺形，
色の区別ができない場合の単位胞は小さな白い4辺形です．

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数学月間SGK通信 ［2016.03.29］ No.108
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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桜の季節がやって来ました．皆様のまわりはどうでしょうか．
私はこのところユニット折り紙に凝っています．今日はその話です．
ユニット折り紙とは，多数のユニットをつないで多面体を作る方法です．
1つのユニットは同じ大きさの直角3角形4個が連なった帯の様な形です．
まず，12枚のユニットで作られる多面体を取り上げましょう．
(Fig1)http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/36/17363336/img_0?1458990114

ユニット内の4つの直角3角形の両端のものはつなぎに使われますから，
立体の面となる直角3角形はユニットあたり２つ（合わせて正方形）です．
この立体の形は正8角面体の面の上に頂角が直角のピラミッドが乗っている形です．
1つのピラミッドは3枚のユニットで構成されています．
この立体をユニット色紙で塗り分ける方法を考察しました．
正8面体の各頂点のまわりに4回対称軸（それぞれ，x軸，y軸，z軸の方向）が3本あります．
色の巡回置換を4回対称軸に結び付けると4色要りますので，
全体を4色で対称操作と矛盾しないように塗り分けてみましょう．

■展開図
これから作るのは正8面体の展開図で，正三角形の面の上のピラミッドは
正8面体の面に射影してぺちゃんこになっています．
（fig.2）http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/65/17360665/img_0_m?1458989502
展開図の塗り分けをもとに，ユニット折り紙を組み立てます．
このような色の配置は実際にユニット折り紙で実現可能です．作ってみてください．
ユニット折り紙の規則では２つのピラミッドをつなぐユニットは
1つのみですから，展開図の三角形の辺を越えて，対角上に同色の配置を作ります．
展開図では，もう一つの対角上にも同色がある（辺を挟んで×になる配置）
ように思うかもしれませんが，そちらは1つのユニットではありません．
辺の両側で分かれている別々のユニット（同色だが）です．
４色のバリエーションはいくらでもありますが，配置に関しての解はただ一つのようです．
ただし，ユニットの作り方で右回りと左回りのものがあります．

■得られた立体の性質
正8面体の各頂点にある4回回転軸（3本あります）で4色置換が起こり，
正８面体の面の真ん中を通る3回軸（4本あります）は，1色は保存し，
残る3色を置換するということがわかるでしょう．
もちろん辺の真ん中を通る6本の2回軸の色置換も完璧です
この立体を眺めると立体の周りに，4つの色の帯の大円が見えます．
各色の帯の大円は，各3回軸を地球の地軸と見立てたとき赤道に相当します．
そして，その3回軸が保存する色が，帯状に現れるのです．

4色置換が行われる4回回転軸（3本）は，外から見て右回りに以下の順です：
x軸：黄→ピンク→青→緑，
y軸：黄→ピンク→緑→青，
z軸：黄→青→ピンク→緑

3色置換が行われる3回回転軸（4本）は，
黄→緑→青（保存：ピンク），黄→緑→ピンク（保存：青），
ピンク→青→緑（保存：黄），黄→青→ピンク（保存：緑）

■さらに色々な性質があることに気づきます．－－－－－－－

3回軸は軸の負方向から見ても正方向から見ても同じ順番の置換を起こしますが，
4回軸は軸の負方向から見ると正方向から見た場合と逆順の置換が起こします．
何故でしょうか？

正8面体の骨格をもつ今回の立体では，正３角形が頂点で4つ集まる展開図を作りましたが，
正20面体の展開図では正3角形が頂点で５つ集まります．そして，対称性を保った色の塗り替えは5色が要ります．
展開図で色の配置を考えてください？．
平面の3角格子では，正3角形が頂点に６つ集まります．
6回対称を保った色の塗り分けになるように，展開図で6色の配置を決定してください？．．

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数学月間SGK通信 ［2016.03.22］ No.107
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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早いもので桜も咲き始めました．皆さまもお変わりなくお過ごしのことでしょう．

周期的空間（2次元に限定すれば壁紙模様）の数学－結晶空間群－の平易な解説法を色々工夫しています．
理論の本質が理解できるようにして，数学的な記述は最小限にしようとしています．
しかし，ある程度の数学的な記述をした方が反って理解し易いのです．
そこで，以下の様な記述に落ち着きました．皆様如何お感じでしょう．ご意見ご感想をお聞かせください．
さらに改良に活かしたいと思っています．
ーーーーー
有限図形の対称性を扱うのが点群．繰り返し模様（周期的な空間）の対称性を扱うのが結晶空間群です．
有限図形の対称性に比べて周期的な空間の対称性はなじみのない人が多いようです．
しかし，周期的な空間はとても重要です．例えば，もし体が縮む薬があり原子の大きさ位になって
結晶の中に入り込んだら，そこは無限に繰り返す世界（＝結晶空間）です．
ここで，点群から空間群への拡大方法にちょっと言及しておきましょう．
原理の骨格を簡明に示すために，扱う周期的空間は2次元（平面）に限定しました．
2次元での繰り返し模様（＝壁紙模様）は，エッシャー〈1944頃）の作品に見られます．

(1)格子
2次元空間では，互いに独立な2つの基本並進ベクトルa1,a2がとれ，
a1,a2の整数係数の1次結合をすべて集めたT={h･a1+k･a2丨h,kは整数｝を，
この平面の格子点の集合（あるいは単に“格子”）といいます.
集合Tは無限集合になりますが， 群の条件を満たしており，Tを並進群とも呼びます．
ブラべ格子とは，結晶点群の対称性を基準に，格子のタイプ分類をしたものです．

(2)点群一有限図形の対称性一
1点の周りの対称操作（点群の対称操作）を考察しましよう．
回転対称軸には,１， 2，3，4，5，6，･･･，∞回（回転対称）軸があり得ます [何もしないのは1回軸]．
n回軸Cnとは，360°/nだけの時計回りの回転操作で，n回続けるとCn^n=360°=0°(mod 360°)，
これは恒等操作1です．回転操作Cnからは，回転群Cn={Cn，Cn^2，…，Cn^n＝1}が生成されます．
その他の2次元点群で見られる対称操作には，鏡映m [対称心-1は，2次元空間では2回軸と同じ]があります．
鏡映操作mが生成する鏡映群はm={m,m^2=1}
（注）mod360°とは360°回転したら同じものとする［360°を法として同値］という意味です．
別の例では，時計の文字盤があります．我々は13時のことを1時とも言いますが，
これは，mod12［12を法として同値］を用いた結果です．

(3)結晶点群一格子と両立できる点群一
結晶では，点群の回転対称性と並進群（格子）の対称性とが両立しなければなりません．
2，3，4, 6回軸は，それぞれに両立できる格子 がありますが，5回軸の場合はどうでしょう．
1つの5回軸が支配する局所的な作用域として正5角形タイルを描きます．
平面に周期があり複数の5回軸が配列している状態を考えると，各5回軸は自分の局所的な作用域
（正5角形タイル）内でのみ有効なのではなく，全域でも有効です．
各5回軸の局所的な作用域は，互いに他の5 回軸により変換し合い，全体として不変な配置となるべきです．
これは2次元平面を正5角形タイルで隙間なく張り詰めることと同じで，そのようなタイル張りは実現不可能です．
したがって，5回軸と両立する格子はあり得ません．7回以上の回転対称軸に関しても同様で，
結局，格子と両立できる（＝結晶空間で許される）回転対称は，2， 3，4，6回軸に限られることになります
[ただし，2次元，3次元空間 での話]．

(4)空間群の作り方〈2次元の場合）
2次元空間では，10種の結晶点群G：1，m，2=-1，2mm， 3，3m，4，4mm，6，6mm，
および，5つのブラべ格子T：clino-P (斜交単純格子)，ortho-P（直交単純格子)，
ortho-C (直交C面心格子)，tetra-P(正方単純格子)，hexa-P(六方単純格子）が数え上げられます．

周期的な空間での対称操作が作る群が結晶空間群で，結晶空間群Φの要素は，
結晶点群Gの要素と並進群Tの要素との積（結合）です．Φ＝G×T

壁紙模様の平面群17種の構成を見てみましょう．
壁紙模様は，1つの“モチーフ”（＝単位胞の中身）を無限にある格子点の上に配置して構成されています．
格子点は無限にあり，どの格子点にいても常に世界の真ん中ですから，
「格子点距離の倍数だけ移動した点はすべて同価」との見方をします．
これを“格子を法として（mod T)同値”と言います．無限に繰り返す“モチーフ”の分布を，
単位胞内の１つの “モチーフ”に還元できます．
［準同型写像で，Φ/T=G のように表現します．ただし，並進群TはΦの正規部分群であることを用いています］
この見方をさらに進めると，“モチーフ”内部の対称性を記述する結晶点群G自体も，
格子を法として(mod T)閉じればよく，G(mod T)と拡張でき，
拡張された結晶点群G(mod T)と並進群Tとの積で作られる空間群もあります．
このような夕イプの空間群には, 映進面（鏡映 ＋ 鏡面に平行に格子距離/2の並進)，
n回螺旋軸(360°/nの回転 十 軸方向に格子距離/nの並進）などの操作があります．
ただし，螺旋軸が現れるのは3次元以上の空間です．
例として，平面群P2mm, P2mg, P2ggの作り方を図示します
(注）頭のPは格子を表し，続く2mmなどが結晶点群の対称要素です．後者の2つ平面群には，映進面gが現れます．
Fig
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/17/17352517/img_0_m?1458546408

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/17/17352517/img_1_m?1458546408

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数学月間SGK通信 ［2016.03.15］ No.106
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■ユークリッド幾何
アレクサンドリアにいたユークリッド(300BC)は，「原論」全13巻を著し，これがユークリッド幾何の誕生です．
彼が作った幾何学体系は，演繹を積み重ねて構築されるのですが，その演繹のスタートに，
彼は５つの公準（公理）を設定しました．公準とは無証明の命題で，常識的で直観的に違和感のないものでした．
公準の5番目が平行線に関してです．ユークリッド幾何は，測量や建築や物づくりに古代から活用され，
我々も日常的にその理論の活用をしています．
■非ユークリッド幾何
ユークリッドの第５公準（平行線の公準）を変えると，異なる幾何体系（非ユークリッド幾何）が構築できます．
これを考えたのが，ロバチェフスキー(1829,1840)，ボヤイ(1832,1835)です．
ガウスも同時代にすでにいくつかの結論を得ていたのですが発表はしませんでした．
双曲幾何の誕生です．ロバチェフスキーはロシアのカザン大学の数学者，ボヤイはハンガリーの数学者，
ガウスはドイツの数学者で当時すでに大御所でした．これらの研究はそれぞれ独立になされたものでした．
双曲幾何に続き，ドイツのリーマンは楕円幾何を生み出しました．
さらに，リーマン(1854)は，高次元の曲がった空間を扱うリーマン幾何を生み出します．
空間の曲率が楕円的であったり双曲的であったり位置ごとに変わるような空間の幾何学です．
これはアインシュタイン(1915)が一般相対性理論を構築する際に必要となる理論でした．
■非ユークリッド幾何とユークリッド幾何の整合
19世紀末から20世紀初頭に，ケーリー（イギリスの数学者，弁護士），クライン(ドイツの数学者)，
ポアンカレ(フランスの数学者)などが，射影幾何やユークリッド幾何空間の中に非ユークリッド空間のモデルを作ります．
機会をあらため，ポアンカレの円盤モデルはもう一度紹介するつもりです．
■射影幾何から非ユークリッド幾何へ
ダビンチなど画家たちは，遠近法や透視図法を古くから用いていました．
デザルグ（17c初頭，フランスの数学者建築家)は，透視図法を発展させた射影幾何の祖です．
ポンスレー(19c中葉)はフランス革命で開設されたエコール・ポリテクニークでモンジュの下で学び，
ナポレオンのロシア遠征に従軍．ロシアで捕虜になっている間に射影幾何学を研究しました．
射影変換というのは，物体から影を作る演算です．射影法には．平行光線や点光源からの発散光線を用いるなど色々あります．射影変換で失われる図形の性質もありますが，保存される性質もあります．
射影変換では，直線は直線に変換されるし，２つの直線の交点の性質も同様に保存されます．
しかし，長さや角度は保存されません．例えば，円を投影すると歪んでしまいます．
それぞれの変換で保存される性質に注目すると，色々な幾何学が生まれます．
群という概念も変換の集合に関する構造で，群に注目してた幾何学もあります．
クラインは，ユークリッド空間を運動群で規定されるものとして定義しました．
射影幾何やアフィン幾何もあるし，ポアンカレらによる位相幾何（図形のつながり方に注目）なども生まれています．
次のデザルグの定理を見るとわかるように，デザルグの定理を3次元で証明するのは容易ですが，
2次元で証明するのは非常に困難です．それは3次元から2次元への射影により，
長さの情報が失われてしまうからです（比率は保存されます）．
ーーーーー
■デザルグの定理
△ ABC と△A'B'C'があり，AA'，BB'，CC'が一点 O で交わるなら，
AB とA'B'の交点 P，BC と B'C'の交点 Q，CA と C'A'の交点 R は同一直線上にある．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/84/17335884/img_0_m?1457866730

（これを3次元の中で証明するのは非常に容易です）
この図が紙面に垂直な方向に高さをもつ3次元世界の中に置かれているものと想像しましょう．
△ABC　と△A'B'C'　は平行でなく，それぞれの三角形を含む平面は，線分QRを含む直線で交差しています．
当然，線分ABは△ABCを含む面内に，線分A'B'は△A'B'C'を含む面内にありますから，
ABとA'B'の交点Pは，両平面の交差する線分QRの延長上にあることになります．
ーーーーーーーーーー
（参考）ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学
色々な幾何空間があります．大きく分けて，ユークリッド幾何空間と非ユークリッド幾何空間です．
非ユークリッド幾何空間には，楕円幾何，双曲幾何の支配する幾何空間があります．
我々の常識が通用するユークリッド幾何の世界では，
“直線l外の1点をA通り，その直線に平行な直線“は，唯一本だけ引けます．
平行線が1本も引けない世界や，無数に引ける世界とはどんな世界でしょうか？
これら3種類の幾何空間を，平面を例にとり比較します．

（１）ユークリッド幾何平面　　（２）楕円幾何平面　　（３）双極幾何平面
例⇒我々の常識の世界　　　　　球の表面　　　　　　ポアンカレの円盤モデル
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/28/17335928/img_0_m?1457866699

それぞれの空間で，“直線の定義を変えれば”，そのようなことが起こる世界があることを納得できるでしょう．
2点間を結ぶ直線とは，その世界で2点間の距離を最小とするものです．
（１）常識の通用するユークリッド幾何平面
2点間の距離が最少なのは我々の知っている直線です．
（２）球の表面は楕円幾何平面の例
球表面の世界では，大円（球中心を通る平面で切った球の表面）が直線です．
地球自体は3次元ユークリッド空間の物体ですが，表面だけなら楕円幾何平面です．
地球上の2点間の距離が最小のものは大圏コースと呼ばれますが，これは地表の大円上の線分のことです．
異なる２つの大円は必ず2点（直径の両端）で交わるので，直線外の1点を通る平行線はありません．
また，地球儀の緯線のようなもの（小円）は大円でないのでこの世界では直線になりません．
（３）双曲幾何平面の例（ポアンカレ円盤モデル）
双曲幾何の世界のポアンカレ円盤モデルでは，円盤のフチに直交する円弧を，直線と定義します．
この世界では，ある直線に対する直線外の1点を通る平行線は無数に引けます．
円盤モデルの世界では，円盤のフチ（地平線）に近づくほど見かけの距離はどんどん縮んで見える
［あるいは旅をする自分がどんどん縮む］ので，永久に地平線に到達できません．
このような世界の最短距離（直線）は円盤のフチに直交する円弧となるのは納得できるでしょう．

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数学月間SGK通信 ［2016.03.08］ No.105
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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このブログやメルマガの表題になっている「数学月間」についての言及は少なかったように思います．
今日は，初心にもどって「数学月間」のことをお話します．
<数学と社会の架け橋>「数学月間」は，毎年7月22日～8月22日です．私たちはこの期間を中心に，
市民が数学に関心を向けるようなイベント開催を奨励しています．「数学月間」は，
市民が数学に関心を向けると同時に，数学者が社会に関心を向ける双方向の架け橋を目指しています．
何故7月22日～８月22日かと言えば，22/7≒π（円周率），22/8≒e（自然対数の底）
という数学の基本定数にちなんでいます．日本の「数学月間」は，今年で11年目．
毎年，初日に“数学月間懇話会”を開催し，今年の７月は第12回です．
正式アナウンスは4月末の予定ですが，以下の案で只今準備中です．
遠方の方もおられましょうが，ぜひ多くの方のご参加をお待ちしております．
今年のテーマは，現代社会で正しい理解が必要になる“確率や統計”がテーマです．
■第12回数学月間懇話会　7月22日（金）14:00-17:00（開場13:30）
場所●東京大学（駒場）数理科学研究科棟002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
内容［演題は仮］●数学よもやま話（亀井哲治郎），医学と統計学（田渕健），社会と統計学（松原望）
問合せ先●数学月間の会（SGK），sgktani@gmail.com（SGK世話人）
17:30から構内（イタリアントマト）で懇親会（各自めいめい払い）
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■フランスの数学週間
2012年から始まったフランスの数学啓発活動－数学週間の今年（第5回）のテーマは“数学とスポーツ”です．
今年は，3月14日～20日が実施週間です．
http://www.education.gouv.fr/cid59384/la-semaine-des-mathematiques.html
パートナーと呼ばれる20数団体が参加して，毎年3月中旬に行われ，毎回一つのテーマが決められます．
“数学カンガルー”テスト・暗算大会と国内数学オリンピック大会とが同時開催されます．
数学カンガルーとは，1978年，オーストラリアの数学教授が考案した多項目選択式数学（算数）学力テストを，
フランスの二人の数学教授が更に発展させたもの（1991年）で，
現在は，“国境なきカンガルー協会”が，毎年3月の第3木曜日に実施し，
EUを中心に，世界50か国（600万人）以上が参加しています．
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■米国の数学月間
1986年4月のレーガン宣言で始まった米国の数学月間MAM（Maths Awareness Month）は，
長い歴史があります．米国MAMのスタートとなった歴史的なレーガン宣言は，
Webでは見当たらなくなりました．このブログの初期の項目に翻訳しておいたものがありますので，ご覧ください．
http://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cDovL2Jsb2dzLnlhaG9vLmNvLmpwL3Rhbmlkci8xNTc0NTU4My5odG1s
今年のテーマは“予測の未来”です．数学月間の先進国ですが，昨年あたりからあまりパッとしないように感じます．
ちなみに昨年のテーマは，“数学はキャリアを運ぶ”でした．
あまり数学の功利的な面を取り上げるのは私は好みません．
今年は数学に地道に根差したものになることを期待しています．
米国MAMの実施月は4月ですが，まだ準備が遅れているようです．
http://www.mathaware.org/mam/2016/essay/

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数学月間SGK通信 ［2016.03.01］ No.104
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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平面の非周期なタイル張りの一つが，
ロジャー・ペンローズが考案した（1966）ペンローズ・タイリングです．これは
2種類のタイルによる規則的ではあるが，周期的ではないタイル張りです．
2通りの方法でペンローズ・タイリングを作る．
（１）正10角形から出発して，分割・拡大を繰り返して作る
ペンローズ・タイリングに出てくる２つの2等辺3角形　A型とB型は，
正５角形の中にあります．この図形には黄金比１：φがたくさん出てきます．
A型やB型の2等辺3角形の等辺と底辺の比はφ：１（A型）や１：φ（B型）．
ただし，φ＝1.618･･･
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/95/17313295/img_0_m?1456754314
黄金比の3角形は，分割すると同じ型の3角形が含まれている性質があります．
A型およびB型の2等辺3角形は，それぞれ図示したように分割できます．
この性質を利用して，正10角形から出発して，分割とφ倍の拡大を繰り返すと
平面全体をA型とB型の２等辺3角形で埋め尽くすことができます．
こうしてペンローズのタイル張りを得ることができます．
タイルの分割が十分進んだときの，AのタイルとBのタイルの個数の比は，
φ(=1.618･･･)：１の黄金比になります．
図は3回の分割と拡大を繰り返して得た図形です．
この図形で見られる形は，凧(2A)と矢(2B)です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/95/17313295/img_1_m?1456754314

(2)正5角形のフラクタル配置を繰り返して作る
正5角形を一回り大きな正５角形の内に並べます．
これをさらに一回り大きな正5角形の内に並べます．
これを次々繰り返すと，全平面を埋め尽くすフラクタル図形ができます．
図上段は，この操作を3回繰り返したところです．
ギャップができますが，気にしないで配列を進めます．
実は，後でギャップの中も正五角形（白色）で埋めます．
すると最終的には，王冠型や星型のギャップが残されることがわかります．
この図をよく見ると，図中段のような2種類のタイル（黄色と青色の菱形）で
置換えると，図下段のようにペンローズ・タイリングであることがわかります．
図下段右の大きなペンローズ・タイリングはこのようにして得たものです．
このペンローズ・タイリングには，中心に5回回転対称が残っていますが，
中心の回転対称を消す配置も可能です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_3_m?1456754576

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数学月間SGK通信 ［2016.02.23］ No.103
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回は，話題の凍土遮水壁についての解説にしました．海への汚染を止めねばなりません．
■福一の事故から5年が経った．メルトダウンした原子炉の中がどのようになっているのか，
燃料棒のデブリが地下どこまで汚染しているのか，見た者はまだ誰もいない．
廃原子炉からデブリ取り出しの開始は，早くて2021年である．この間毎日，多量の地下水が原子炉建屋の下を流れ，
デブリを浸している高濃度の放射性汚染水と混ざり海に流れ込んでいる．豊富な地下水の流量は日に400トンと言われる．
読者も航空写真を見たことがおありかと思うが，汚染水貯蔵タンクが1,100基も立ち並び，
もはや敷地内にタンクを作る余地のない状態である．1～３号炉の冷却のために注入する水は400ton/日，
建屋地下を流れ去る地下水400ton/日のほかに，原子炉建屋を浸し冷却水と混合する地下水が400ton/日，
従って，建屋地下から汲み出す冷却水が800ton/日で，分離されてタンクに貯蔵される高濃度の汚染水は400ton/日という．
■従って，地下水を原子炉建屋のデ ブリに触れさせずに，バイパスさせ汚染のないまま海に放出したらどうか
という案は当初からあった．地下水脈は地上を流れる川のように迂回させるという工事 はできない．
緊急に短期間で実施できる対策に，トンネル工事などの水止めで実績のある凍土遮水壁を提案したのは
鹿島建設でこの案が採用された．
凍土遮水壁は原子炉建屋と建屋の周りのサブドレインを取り囲む周囲1,500mで，
深さ30mまで冷却パイプを打ち込み地盤，あるいは流水を凍らせるものである．
事業費約３５０億円は全額国費で賄われ，完成後も凍結を保つために，年間約２０億円の電気代がかかるので，
「国による東電の救済策」との批判もある．（北海道新聞，2/18社説）
■2014.4月に凍結し難い箇 所の試験凍結．5月に山側全体の凍結開始が，2015.3月に凍結開始，
さらにもっと計画がずれ込んだ．凍土遮水壁の工事は2014.6月に 開始し，
毎日約500人が働き，2年を費やしてやっと工事が完成したのだ．工事は犠牲者もでる難工事で現場の努力は評価したい．
凍土壁は，トンネル工事での短期間とか，局所現場に適応実績のあるもので，
このように周囲をぐるりと塀のように囲んだり，何年にもわたって凍結を維持した実績はない．
地下水脈の深度が深かったり，多量の地下流水が熱を運び去ったりして凍結できないのではないかと私も心配している．
原子力規制委員会は，凍結を実施 して地下水の侵入を止めると，サブドレインの水位より原子炉建屋中の水位が高くなり，
デブリに触れている高濃度の汚染水がサブドレインの方に出てくるリス クを懸念し，
やっと完成した凍土壁の稼働にストップをかけている．いまさら何を言っているのかと思う．
規制委員会，田中俊一委員長は効果が期待できないと，この件に関しては冷淡である
（2/17田中俊一委員長定例会見，iwj中継）．
3月初めに，水位の影響の少ない海側（建屋からの汚染水の排出側）だけ凍結 し，
様子を見ながら徐々に全周の凍結を行うという案を東電が提出し，これを規制委員会が認可して即実施に入る見込みである．
凍結が始まって順調だと8ヶ月 後に，流入地下水は日に90トンに低減されるという（2/15東電定例会見，iwj中経）
■凍土壁工法は，ローコストな救 急的な工法で，すぐ実施でき海洋の汚染を防止することに意味があったのだが，
計画より2年以上遅れ，今稼働しても凍結までまだ8ヶ月もかかる．この間汚染水は海に漏れま くっており，
対策時期を逸しいる．現場の苦労に同情しうまくいくことを望むが，抜本的な解決策ではないのが残念だ．
■規制委員会は，規制値内の汚染水なら海洋に放出してかまわない（抜本的な手立てを打っていない）との方針だ．
しかし，排水規制は放射能の濃度のみで総量は規制されないので，汚染水放出が続くと海洋汚染は深刻になる．
廃液の規制はCs134で60Bq/L，Cs137で90Bq/L，Sr90で30Bq/Lであり，これらの核種が混ざっていれば合計の放射能で規制され，
これら部分成分の濃度はさらに低く規制されるはずである．
ところが敷地内の海側の井戸水から規制値の何千倍もの汚染が観測されているのが現実で，
地下水も高濃度に汚染されている可能性が高い．
海水のモニタ値に変化が出るなら，海水の量を考えればそれはとんでもない汚染で死の海である．
現地漁協は風評被害というが， 食物連鎖による魚の汚染は進んでいる．
このことを考えると，一刻も早い汚染水の排出を止めるべきで，
規制委員会が効果が期待できないなどと無関心を決めることは許されることではない．
－－－－－－－
（注）ちょっとわかりにくいのだ が，原子炉建屋をぐるりと取り巻く凍土遮水壁は全部，陸側遮水壁とも呼ばれる，
それは，現存する海側遮水壁に対する名称で，海側遮水壁は，鋼管矢板594 本を使用し
海の前に作った全長約780mの壁（凍土ではない）で，2015年10月26日に作業終了している．
大雨の折などポンプの能力が追い付かずK排水路から高濃度の汚染水がオーバーフローすることがあるのはこの海側遮水壁である．
本文中で，陸側，海側と使われるのは凍土遮水壁の陸側の部分，海側の部分という意味である．

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数学月間SGK通信 ［2016.02.16］ No.102
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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写真は，なかなか洒落たテーブル断面の模様です．最近入ったレストランで発見しました．
調べて見るとこの断面の孔は向こう側まで貫通しています．どうやって貫通孔を穿けたのでしょうか？
菱形，長方形，わざわざ貫通孔を穿けるのはとても困難な作業です．
そこで，さらによく観察すると，上・下面は貼り合わせて作ったようで，鏡映対称になっています．
片面をこのような溝つきに仕上げて，溝つき側を内側に貼り合わせれば，
このような上・下鏡映対称で貫通孔のある断面を作れます．
面白い断面模様ができるし，これらの溝が貼り合わせのマーカーになるのかもしれない．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/71/17285171/img_0_m?1455501541

このように考察したところで，とても面白かったのでこれをfacebookの記事にしました．
すると，友人から以下のコメントがありました．
「丸太の外周部分を使って背中合わせにしているのですね。
切れ込みはおそらく反り止めではないかと思います」
なるほど，溝は反り止めの効果があったのです．実に巧妙な木取です．
木目を頼りに木取の図を描いてみました．
1本の丸太材から柱を切り出した残りの外側廃材から4枚とれます．
幾何学的にも見事で，経験と知恵に感心します．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/71/17285171/img_2_m?1455501541

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数学月間SGK通信 ［2016.02.09］ No.101
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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対称性が高いとか低いとか言いますが，これはいったいどのようなことでしょうか．
正方形の対称性4mmに限定して話を進めます．その他の平面図形についてはブログをご覧ください，

正方形の対称性（点群）は，4mmと表記されます．この記号中の４は，図形の中心にある4回回転対称軸です．
4回回転対称とは，図形を90°回転しても初めの状態と全く変わらないという図形の状態です．
このような操作を4回繰り返すと1回転しますから4回回転軸という名称が付きました．
４回回転対称の対称操作の数は，90°，180°，270°，360°＝0°の回転の４つがあります．
正方形の形に対する鏡映対称操作は，横辺の中点を結んだ鏡と，縦辺の中点を結んだ鏡の2枚（青色），
および対角線の方向に2分する2枚（赤色）の合計4枚があります．
前者の2枚の鏡は，4回軸の操作で互いに移り変われ，後者（対角線方向の2枚）の鏡同士も同様です．
しかしながら，前者の鏡と後者の鏡とは4回軸の操作で互いに移り変わることができませんから，
前者と後者は種類の異なる鏡です．そこで，正方形の対称性（点群）の記述では，
4mmというようにm［鏡（mirror）の意］を２つ並べて書きます（注）．
（注）正五角形は5mですが，5枚の鏡は5回軸で互いに変換されますので，１種類の鏡（赤の鏡）しかないからです．

点群4mmの対称操作（要素）の数（群の位数と呼ばれる）は，全部で8個になります．
対称性が高いとは，群の位数が大きいことですが，対称要素が次々に減じていく系列のなかで考えます．
これから説明しようとしているのは，それぞれの群の下に含まれる部分群の系統図についてです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568615/22/17246222/img_4_m?1454724698

正方形の系列で最も対称性の高い4mmには，４回軸と2種類（赤色と青色）の鏡がありました．
回転対称軸の対称性が下がって（４→2→１）行ったり，鏡映面がなくなったりして，
対称性の高い点群から対称性の低い点群（部分群）が得られます．
赤や青の矢印で結ばれたものは，群と部分群の関係にあります．
図表には，それぞれの点群の対称性を一目でわかる図形で表現しました．

対称要素の数（群の位数）をrとすると，各図形の1/rの領域（緑に塗った）を
対称操作で広げて全体を作ることができます．
つまり，対称性の高い図形ほどこの領域は小さくて済みます．

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数学月間SGK通信 ［2016.02.02］ No.100
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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おかげさまで100号発行になりました．今年は数学月間は11年目です．
７月の数学月間懇話会に向けての情報も，これから掲載していきますので
よろしくお願いします．日本の数学月間は7/22～8/22です．
さて，エッシャーのような繰り返し模様のモチーフをつくる平行6辺形タイルについては
085(2016/10/20)で言及したことがありましたが，再度ここにまとめてみます．

（１）平行4辺形とは下図の（A)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺どうしは同じ長さです．
向かい合った辺どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加えて図案のモチーフを作ります．
エッシャーの作品の2羽の鳥はこのようにして作られました．
　　　　（A)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/17260028/img_0_m?1454336049
（２）平行6辺形で平行な辺どうしが同じ長さの図形は下図の（B),（C)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺（同じ色に着色）どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加え，図案のモチーフを作るとエッシャーの様な繰り返す絵が作れます．
私は，ハロウイン魔女を作って見ました．
　　　（B)　　　　　　　　　（C)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/17260028/img_1_m?1454336049
（３）平行８辺形以上になると平面を敷き詰められないのは何故でしょうか？
平面は2次元のために独立な平行移動の方向は２つで，3つ目の方向は決まってしまいます．
可能な方向は全部で３つで，4つ目の方向は存在できません．
従って，敷き詰め可能なのは平行6面体までということになります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/17260028/img_2_m?1454336049

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数学月間SGK通信 ［2016.01.26］ No.099
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆さまご機嫌いかがですか．東京でもちょっと雪が降ったりしました．
今は寒いですが，晴天の日が続いています．日本海側はだいぶ雪が降っているようですが
被害などありませんように．

今回取り上げる伝統工芸の「大川組子」は，FBの友達からの情報と
ブログの友達からの情報で知りました．ウエブやSNSで得られた情報がことの起こりです．
写真は，見事な伝統工芸の格子です．寸分も違わない見事な細工です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/64/17219564/img_3_m?1452480087
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/64/17219564/img_2_m?1452480087

この模様の対称性を鑑賞しましょう．
これらの組子は，正3角形２つでできている菱形の胞（セル）を単位としています．
そして，全体を一貫する格子があり，胞（セル）は格子の中に詰め込まれています．
第二の図の右側コラムに，そこに使われている胞（セル）の中身（5種類）を取り出しました．
これらはどの中身も周期的に繰り返すなら，どれもみんな6回対称（p6mm）になります．
違った中身へと移り変わる境界の状態は，対称性で記述するのは困難です．
その複雑さに，数学がまだ追着かない芸術の深さがあるようです．
胞の中身に変化があっても，格子が同じ一貫したものになっています．
これは，人工結晶などで見られる格子整合という状態を連想させます．

素晴らしい「大川組子」の写真をウエブで探してたくさん鑑賞しました．
「大川組子」の格子は，３角格子（正３角形２つの菱形），正方格子，
六角形格子の３タイプがありました．
多くの工芸作品は，みんなこのうちのどれかで，他の格子は使われないようです．
そこで思い当たったのですが，これは，正多角形のタイル張りが，
正３角形，正４角形，正６角形の３種であることと似ています．
そして，上で述べたように３角形の中に入る胞の中身の対称性は3mです．
正多角形の格子を用いることと，胞の中身も格子の対称性と同じにすることは
安定な釣り合いを考えれば当然のことで，
昔から職人は，寸分もたがわぬ組子を作るために
力のつり合いと対称性を直観的に理解していたことがわかります．

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数学月間SGK通信 ［2016.01.19］ No.098
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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鏡は左/右を逆転する（上/下は逆転しない）のが不思議だという人がいます．
そんなに不思議でしょうか？実物と鏡像とは，上は上に，下は下に，左は左に，右は右に映る
（対応する）のですから当たり前で，不思議でも何でもありません．
それでも，鏡像の世界はなんだか不思議な感じがするのは確かです．
この不思議さはどこに原因があるのでしょうか？実物と鏡像を考察してみましょう．
実物は我々の世界にあり，鏡像は鏡の中の世界にあります．
それなのに，鏡像を我々の世界の中にあるように思うことが，この混沌の原因なのです．

■ちょっと脱線ーーーーー
「太古の時代は，我々の世界と鏡の中の世界の行き来ができたそうだ．
（このようなことは4次元の世界なら実際に可能である．）
鏡の中の生き物とこちらの世界の生き物は仲良く一緒にいたのだそうです．
ある夜，突然，鏡の世界の住人達が我々の世界で好き勝手を始めるようになった．
そして人々は，鏡の中の住人の正体が「混沌」であることに気付いたという．
そこで，黄帝が魔力によって「混沌」を鏡の世界に閉じ込め，
姿や動きも我々の世界の模倣しかできないようにした．」*1)
混沌の中から湧き出るように次々と生まれてきたさまざまなものが宇宙を形作った．
そしてこれを神の技として語り伝えられた．

呪文の効果が切れて，鏡の世界の住人達が勝手に動き出すことが将来起こるかも知れない．
私は幻想怪奇小説が大好きです．そのようなテーマの小説*2,3)
のうちで私が好きなものは「パイプをすう男」です：
一人の男が寂しい一軒家に住んでいます．
毎夜，ランプを卓に置き食事をとる．正面の張出し窓の五枚の窓ガラスに，五つの人影が映る．
彼が食事をとれば人影も同じように食事をとって，
彼が食後の煙草に火をつければ，同じように火をつける．
ガラス窓が五稜形をしてるから当たり前だが，毎夜のことだった．
ところが，ある夜，恐ろしいことが起こった．彼は，煙草に火をつけて
いつものように正面の窓ガラスに映る自分の姿に眼をやった．
すると，その一番左の端の窓ガラスで，五番目の彼の姿が同じように火をつけた．
が，つけたのは，彼のように紙巻ではなくてパイプだった．．．．．」*2)

*1)Turbulent mirror, J Briggs & F. D. Peat, 訳：高安秀樹，高安美佐子
*2)パイプをすう男，M･アームストロング，幻想と怪奇 1（ハヤカワ）
*3)わな，Ｈ・Ｓ・ホワイトヘッド，怪奇幻想の文学(新人物往来社)
ーーーーーーー閑話休題

■鏡映像の左右反転
x軸に垂直な鏡面があるとします．鏡面内に原点(0,0,0)があり，上方向がy軸です．
この鏡面により，(x,y,z)の点は（-x,y,z）の点に映ります．
つまり，y,zは変わりません（上は上に，左は左に対応）が，xは-xに変わります（前向きが後向きに対応）．
この鏡面は，xの符号だけ反転します．だから，右手は鏡に映ると左手に変わります．

鏡像は鏡の世界にあるのですが，我々は，鏡の世界を我々の世界の延長のように認識しようとします．
つまり，鏡の世界の天井と地面を，我々の世界の天井と地面と共通のものと直観してしまいます．
そして，鏡像を我々の世界に連れ込んで，前後の向き（鏡像はｘ方向が反転している）を，揃えようとします．
上下方向（y軸）は，鏡の世界と我々の世界は共通，前後方向（ｘ軸）は鏡像では反転しているので，
我々の世界に鏡像を連れてくるなら，反転したｘ軸をそろえるため，y軸（左右方向）が反転してしまいます．

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数学月間SGK通信 ［2016.01.12］ No.097
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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先週に引き続き，モアレの美しさを鑑賞ください．
（A)2枚の格子を全く傾けずに（交差角0°）重ねたもの
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/68/17214068/img_0_m?1452512081
（B)2枚の格子を交差角10°で重ねたもの
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/68/17214068/img_1_m?1452512081
(C)2枚の格子を交差角15°で重ねたもの
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/68/17214068/img_2_m?1452512081
(D)2枚の格子を交差角20°で重ねたもの
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/68/17214068/img_3_m?1452512081
(E)2枚の格子を交差角30°で重ねたもの
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/68/17214068/img_4_m?1452512081

2枚の全く同じ格子（3角格子）を重ねます．
３角格子（6mmの対称性）の非対称の領域は0°～30°です．
そこで交差角（回転角）を0°～30°の範囲を実験しました．
言及したい注目点は３つ：
（１）元の3角格子の格子点の集合（並進群A）と，重ね合わせで生じた共通格子点の集合（並進群B）の関係は，
BはAの部分群であることです．
例えば，交差角30°の時の2つの格子に共通な格子点（スーパーラティスという人もいる）は，
coincident-site-latticeで，Fig（E）に示します．
あたかも，結晶の表面構造や高分解能電顕による格子像観察の映像のようです．
（２）連続的に交差角度をかえると，生じた拡大された格子像がズーム・アップして面白いです．
交差角が小さいと拡大率は大きくなります．Fig(B～D)
（３）モアレ現象は，薄膜の干渉で生じる現象にも似ています．
例えば，複写機ドラムの感光体塗膜の厚さにより，界面と表面からの反射光の干渉があります．
望まない干渉縞を除去するそんな特許を昔書いたことがあります．

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数学月間SGK通信 ［2016.01.05］ No.096
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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新しい2016年がスタートしました．皆様のご健康とご成功を祈ります．
やる素振り，やった振りで国民を期待させ欺くのはもう化けの皮がはがれてきました．
日本にとって2016年は大事な年です．良い年になりますように．

■モアレMoire
2枚の同じグレーチング（格子模様）を重ねたとき，もとのグレーチングの拡大像のようなものが
新たに生じるのを見たことがありますか．これはモアレ現象の一種です．
The superposition of two regular nets produces a secondary enlarged net of the same shape.
2枚の全く同じグレーチング（格子模様）を重ねると，たいてい相互にわずか傾いていますから，モアレ（モワレ）縞を生じます．
これは，2枚のグレーチング模様の重なった場所はよく光を通し明るく見えるためです．
重なる場所の出現は周期的ですから，重ね合わせ像のコントラストに周期的な分布ができます
（ビート，うなりのようなものです）．そしてあたかも，グレーチングの拡大像を得たように見えます．
グレーチング相互の傾きがわずかなら生じる像の拡大率は大きく，傾きが大きくなると拡大率は小さくなります．
下の３つの写真は，最近ある店の中で撮影したもので，今回モアレのテーマを思い出したのもこのせいです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_2_m?1451706758
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_0_m?1451706758
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_1_m?1451706758

3枚の写真は，それぞれ全く同じ2枚のグレーチングが平行移動（傾きはなく）して重なっている状況です．
これらの写真を見ると，2次元的なビート・パターンが生じているのですが，
全く同じグレーチングが平行にずれても，新しいビート・パターンは生じないはずです．
ではなぜこのようなビート・パターンが生じたのでしょうか？
それは，2枚のグレーチングの間にスペース D があるために，観測者から視差（パララックス）があり，
前方のグレーチングよりも後方のグレーチングを小さく見込むためです．
これは，わずかに寸法の違うグレーチングを重ねたのと同じ現象なので，
このためにビート・パターンが生じているのです．
とても美しいので，よくわかるように以下の写真を追加します．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_7_m?1451706758
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_8_m?1451706758
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_9_m?1451706758

■詳細考察
では，計算してみましょう：ノギスの副尺の原理を思い出すと良いかもしれません．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_6_m?1451706758
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/63/17194663/img_5_m?1451706758

本当のグレーチングの格子のサイズ　a
2枚のグレーチングの間隔　D
視点から表面のグレーチングまでの距離　L
後ろのグレーチングの縮小割合　δ/a≡q<1
として，生じるビートの周期　T　を求めて見ましょう．
a/(D+L)＝(a-δ)/L　より　δ/a＝D/(D+L)
T≡n･a=(n+1)(a-δ）より　δ/a＝a/(T+a)　⇒　T=a(1/q-1)　← D, L を消去した
　　あるいは，　T=a(L/D)　← q を消去した
さて，この例で生じた新しいビートの周期は，　T=5a　のように観測されます．
従って，L/D=5　が得られます．あるいは，1/q＝6，つまり　δ/a=1/6　です．

2枚の同一なグレーチングの間隔Dで重ねたとき生じるビートが，もとのグレーチングのn倍に見えたら，
観測点から表面のグレーチングまでの距離はL=n･D　です．これは，距離Lを測定する道具に応用できるでしょう．
ただし，n=1（T=a）はモアレとは言いません．a/2周期の均一なコントラスト分布です．

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数学月間SGK通信 ［2015.12.29］ No.095
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いろいろあった2015年もあと数日で終わります．忙しい日々ですがどうぞ
お変わりなくお過ごしになりますよう．皆さまにとって良い2016年になりますように．
毎年7月22日に，数学月間懇話会を実施していますので，ご参加をお誘いします．
来年の計画が決まりましたらご案内いたします．

数学月間を日本数学協会が提唱して今年（2015年）で丸10年になりました．
今年の7月22日の数学月間懇話会（第11回）テーマは，十年目の数学月間（片瀬豊），
フランス数学週間（高窪正明），サッカーボールの対称性を解くトポロジカルシンメトリー（細矢治夫），
繰り返し模様の観賞法（谷克彦），テーラー展開の話（鈴木啓一）でした．
今年も例年のように大変暑い日で，教室付近の構内は自動販売機はないし熱中症も心配されましたが，
高校生5人を含む30人を超す参加があり熱心に質疑もなされました．参加者の過半数が懇親会にも参加されました．
今回のメルマガでは（１）の講演の概要を報告します．
（１）フランス数学週間（高窪正明）
2012年から始まったフランスの数学啓発活動－数学週間(La semaine des Mathématiques)－に付いて，
主にネットで得られた情報を中心に紹介がありました．
数学週間は，国民教育省の企画の下，“現在の生き生きとした魅力ある数学の提示”，
“数学が日常生活で果たしている重要性の提示”，などの五つの目的を掲げ，
パートナーと呼ばれる20数団体が参加して，毎年3月中旬に行われます．
加えて，毎回一つのテーマが決められています．2012年の第一回から2015年の第四回まで順にテーマを記すと，
”女子と数学”，”惑星である地球”，”様々な文化の交差点にある数学”，そして，”数学は，私たちを運ぶ”です．
この数学週間の特徴は，“数学カンガルー”テスト（後述）・暗算大会と国内数学オリンピック大会とが
同時開催されている点でしょう．前者二つは，遊び・身近なものを通じて，数学への関心を高める目的．
後者は，数学を専門として使う人材を養成する目的でしょう．
さて，数学カンガルーとは，1978年，オーストラリアの数学教授が考案した多項目選択式数学（算数）学力テストを，
フランスの二人の数学教授が更に発展させたもの（1991年）で，
現在は，“国境なきカンガルー協会”が，毎年3月の第3木曜日に実施し，
EUを中心に，世界50か国（600万人）以上が参加しています．
テスト問題は，学年・専攻別に12水準で用意され，代数，幾何学，および，
論理の三分野から出題される24問/50分から成り，参加国各国語に翻訳されます．
テスト結果は参加国それぞれで集計され，成績優秀者が表彰されます．
フランスでは，約4,000の学校・約3,000,000の小中高生が参加します．
これら三つの催しの他に，数学週間の期間中，その年のテーマに沿って多くの講演，
多彩な見学会（実習付），そして，教育映画上映会が，
フランス全土の30大学区（教育行政区）・パートナーによって執り行われます．
特に，第一回以来Cédric Villani 教授（2011年 Fields賞）が，活発な講演・啓発活動を行っている事も注目されます．

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数学月間SGK通信 ［2015.12.22］ No.094
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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本年もあと1週間です．本年お付き合いいただきありがとうございました．
今回は，前回のユニット折り紙の箱の考察の続きです．
■正6角形箱
２つの箱をユニット折り紙で作りました
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/29/17175629/img_0_m?1450707610

どちらの箱も正6角形です．色の見分けのできない（すべて灰色の見える）眼鏡をかけて見れば，
どちらもおなじで6回回転対称です．
左の箱は，6回回転軸の60°回転ごとに，色がオレンジ⇔青と入れ替わります．
このような色の交代と結び付いた6回軸を６’と書きます．
右の箱は，6回回転軸の60°回転ごと（左まわり）に，色は，青→ピンク→オレンジと置換します．
このような3色の置換と結び付いた6回回転軸を6^(3)と書きます［(3)は上付文字です］
左のような，2色交代と空間対称操作との結合はシュブニコフ，
右のような色置換と空間対称操作との結合はベーロフによって研究されました．
空間対称操作（空間群）はフェドロフにより研究されましたのでフェドロフ群と呼ばれるように，
これらの拡張された空間群は，シュブニコフ群，ベーロフ群と呼ばれます．
■シュブニコフ群
左の点群を６’＝｛6'，6'^2，6'^3，6'^4，6'^5，6'^6=1｝とします．
図形を見てわかるように，色の変化を起こさない点群３＝{3, 3^2，3^3=1}，
［ただし，６’^2=3，6'^4=3^2に注意］が，部分群［実は正規部分群］として含まれています．
したがって，対称操作の集合は2つの集合の和（剰余類展開）になります：
　6'=６’・３＋1・３
これは，点群6'を色を変えない正規部分群 3を法として６’/3＝｛１，6'（mod3）｝に単純化されるということです．
［注）群３を法としてとは，点群３で動くものはすべて同じものと思えということです．
時計は12を法としています．1時と13時は同じ位置に来ます］
■ベーロフ群
右の点群は６^(3)，色を変えない正規部分群は　2＝｛(6^(3))^3=2, 1｝ですから，
6^(3)/2=｛6^(3)(mod2)，(6^(3)(mod2))^2, 1｝
つまり，mod2というのは，2回軸で移るものは同じと思えということで，考察は図形の半分に帰着できます．
例えば図形の右側だけ見ると，青→ピンク→オレンジの置換が起きることがわかるでしょう．

■正8角形の箱
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/29/17175629/img_1_m?1450707610

左の箱は前回登場した正8角形のものです．点群は 8'
この中に含まれる色を変えない部分群は，4
8'/4={8'mod(4), 1} です．
ただし，正8角形のタイルで平面のタイル張りはできませんから，
有限図形の点群としての８はありますが，8回軸が周期的に並ぶと矛盾が起きます．
つまり，結晶点群として８は存在できません．
例えば，正8角形の分子（オクタテトラエン）が，周期的に配列して結晶を作ったとしても，
並進周期はせいぜい4回対称か2回対称でしょう．

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数学月間SGK通信 ［2015.12.15］ No.093
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ネットでこのような美しい正八角形の箱を見つけました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_0_m?1450074719

このなかに以下のような図形が見られます．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_1_m?1450074719

一番外側の大きな正8角形の内に一回り小さな正8角形が
含まれています．そしてその正8角形の内に，さらに一回り小さい
正８角形が見えます．
この調子で，内部に作図を続けていくなら，どんどん小さな正8角形が
含まれて行きます．そのようなどんどん繰り込まれていく図形は
フラクタル図形です．
一回り小さくなる度に，その相似比はどのくらいでしょうか？
外側周は直角2等辺3角形でできていますからすぐわかると思います．
１：√2－1　が答えの相似比ですね．

外側を以下のように星形にすると
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_2_m?1450074719

レオナルドの星形8角形が得られます．
外側の星形と内部の星形の相似比は，やはり
１：√2－１　です．
老婆心ながら，この比率を√2＋1倍して
√2＋１：１
が相似比だと答えても正解です．

■私も折り紙でこの箱を作製してみました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_3_m?1450104156

以下のサイトに作り方が出ていますのでご参考まで．
同じ部品を作っておいて組み立てるこのような作り方を
ユニット折り紙というそうです．
正方形の千代紙が8枚必要です（フタ側の半身で）．
ただし，中心の白く見える部分は千代紙の裏側ですから
これが嫌な方は両面印刷の千代紙か，贅沢ですが
背中合わせで2枚重ねの千代紙を使うと良いでしょう．
折り紙では，45度や45度の半分の角度は簡単に作れます．
今回の箱作りでもそのような折り方（下写真）を使います．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_4_m?1450104156

■作り方は以下のサイトを参考にしました
https://www.youtube.com/attribution_link?a=CJItUT4Igow&u=/watch?v=RbSiETOOac4&feature=share
八角形の折り紙箱 1/2
http://origamisho.com/archives/1412
セツの折り紙処