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1986年から始まった米国の数学月間MAMは，2017年から統計学を表に出して数学･統計学月間MSAMに衣替えした．これは，（2011年）解明進む複雑系，(2012年)統計学とデーターの氾濫，(2013年)持続可能性の数学，(2016年)予測の未来，と続くMAMテーマの流れから予想されたことです． 数学と統計学は，インターネット・セキュリティ，持続可能性，疫病，気候変動，データの氾濫，に見る現実世界の問題に対して重要な役割を果たしています．医学，製造，エネルギー，バイオテクノロジー，ビジネスなどの分野でも，日々新しい結果や応用が生まれています．数学と統計学は，システムや方法論がどんどん複雑化する技術世界で，革新の重要な推進力になっています． 些細な事故が雪崩となり大規模災害を惹起する危うさを持っているのが複雑系です．限界ぎりぎりで稼働している複雑系であるインフラの制御はAI（ディープラーニング）がなければどうにもなりません（ただし，事故の復旧では人間自身の手が必要で，AIで解決できるものではありません）．また，医療診断の画像識別エキスパートシステムでは，専門診断医を凌駕する状況であります．

日本政府の「AI戦略」は，AIを理解し各専門分野に応用できる人を，遅ればせながら2025年までに年25万人育てる体制を目標に掲げました．経済産業省が2019.3に出した報告書「数理資本主義の時代」（違和感のある表題だ）は，数学が国富の源泉であると謳い，GAFAを見ればそのような時代の流れであることは明白です．しかし，ことさらに数学をそのように強調し，強者になるための道具にすることには違和感があります．高い年収が得られるので数学を職業とするでは本末転倒と言わざるを得ません．
さらに経産省の当該報告書(p.19)には，<工学出身者に「数学は役に立たない」という時代遅れの先入観が残っている>との記述があます．時代遅れの先入観と言わようが，あえて言うと，私は「数学では物は作れない」と思っています．
アナログ制御の時代を担い応用数学を発展させた工学の扱う対象は物や反応であるのに，データサイエンス（コンピュータがなければ何もできない）の働きかける対象はいつも数値（データ）であり解析にとどまるからです．ただ，工学であれデーターサイエンスであれ，どちらも数学なので，「数学は役に立たない」とは誰も思ってはいないはずです．かつて，電気電子，計測などの工学部が応用数学の研究と教育を担っていた時代があったが，コンピュータの発展により，数学能力の低下はあると思います．数学理論を何も知らずとも優れたコンピュータ・ソフトを操り，良い結果を得るのをしばしば目撃したし，ディープラーニングのブラックボックス化の弊害もあると思います．今は，データーサイエンスの基礎を支える数学を押さえる時期であると思います．経産省の報告書の先に触れた部分は，<企業の工学出身者の時代遅れ先入観がAIを阻害している>と言いたいようだが，経産省の指摘を待つまでもなくこの分野の研究は多くの企業で先行していた．例えば，1987年に開設したリコーカリフォルニア研究センターでは，1990年にPeter E Hartを所長に迎えAIの研究を始めている．2000年に，Richard O Duda, Peter E Hart, David G Storkが”Pattern Classification”(2nd edition，尾上守夫監訳)を出版している．これはスタンフォード大の授業でも用いられ発売後半年で4,000部売れた．米国AI研究者の数学基礎の確かさと層の厚さが感じられる例である．

日本のある大学のポスターで，基幹工学（機械，電気・電子，工業化学），先端工学（ロボット，AI・データーサイエンス），建築工学の3分類の新し構えを見受けます．また，立教大学が2020年4月に開設する国内初となるAI（人工知能）に特化した大学院「人工知能科学研究科」（修士課程）は，機械学習やディープラーニングを中心としたAI領域についての学科で，機械学習の数理モデルを深く理解し，高度な情報科学や統計学の知識を持ち，論文から最新のAI技術を実装できる人材育成を目指すという．
ベイズ決定理論，最尤推定，パーセプトロン，多層ニューラルネットワークなどの基礎教育を行うのは必要ですが，数学以前の数理モデルを作る時点で，正しい解釈ができる能力，常識，読解力，AI倫理などはさらに重要であると考えます．統計学もAIも解釈次第でとんでもない結果を導く可能性があります．

前号では長さの問題をみましたが，今回は面積について少し考えましょう．
（掛谷の問題）
平面に置いた長さ１の針（線分）を平面上で１回転することができる平面図形のうちで
面積が最小なものは何かという問題です．この問題は1916年に掛谷宗一が提起したものです．

可能な図形候補の4つの図を，http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/KakeyaProblem.html　から引用します．

多分，皆さんの思いつく答えは，この4つのタイプのうちの一つでしょう．

(1)　直径1の円　面積はπ/4=0.7854
(2)　ルーローの３角形　面積は(πー√3)/2=0.7048
　ルーローの3角形というのは，1辺１の正3角形の各頂点を中心に半径1の円弧を描いて囲まれた図形です．
　ルーローの3角形を断面に持つ棒は，円柱と同じように定幅曲線なのでコロとして使えます．
　その面積は，√3/4＋3x(π/6－√3/4)＝π/2－√3/2　と求まります．
(3)　高さが１の正3角形　面積は1/√3=0.5774

これらの図形の面積は，(1)>(2)>(3)の順で小さくなっています．
それで，(3)が最小面積の答えかと言うとそうでもありません．
(4)のように凸でない（内側に反った曲率の星型）図形でも針の回転が可能で，
そして，(4)の図形の面積はいくらでも小さく（面積0に）できることがわかります．
これは，1919年のベシュコビッチの定理からの一つの帰結でもあります．

さて，面積とは何かというのは難しものです．
われわれが常識で使っているのはジョルダンの面積です．
フラクタル図形の面積０ではジョルダンの面積の定義では面積が測れません．
無限回の操作がからむ図形にも使えるのがルベーグの面積です．

http://twitpic.com/8qlket　に，√2=2　というパラドックスが提起されています．
このパラドックスの原因は，非常に興味深いので，ここで考察することにします．

問題１

一辺の長さ１の正方形の対角線の長さは√2ですが，上図のように，X軸方向に1，y軸方向に１動く経路（n=０）を考えると長さは2になります．以降，このような折れ曲がり経路を繰り返して行きます（n=1,　2,　3,　4,････∞）．折れ曲がりを繰り返して行っても，いつも経路の長さは2で変わらないことがわかるでしょう．このような碁盤の目のような経路の長さは，マンハッタン距離と呼ばれることもあります（マンハッタンの市街の道は，碁盤の目の様だそうです）．マンハッタン経路は，ｎ→∞で対角線に限りなく近づきますので，√2=2　というパラドックスになります．

どこがいけないでしょうか？

問題２

同様な問題に以下の様なものがあります．https://note.com/keyneqq/n/n2ead38a59af5
半径1の円の円周は2πです．半径１の円に外接する正方形の一辺の長さは2ですから，半径１の円周のマンハッタン距離は８です．n=0から出発してx方向，y方向への折れ曲がり数を繰り返しマンハッタン経路は，限りなく円周に近づきますが，マンハッタン距離は8のままです．
従って，2π=8，すなわち，π＝４となります．　どこがいけないでしょうか？

 ■さて，これらの問題に見られるパラドックスは，どこに原因があるのでしょうか？
これらのすべての曲線はいずれも連続であることは確かです．碁盤の目に沿って辿るマンハッタン経路を∞回細かく繰り返した曲線は，至る所ギザギザで，微分不可能な曲線になっており，曲線の長さを微分係数を用いた積分で定義することができません．2点間（x1,y1)，(x2,y2)のマンハッタン距離の定義は|x1-x2|+|y1-y2|で，碁盤の目（メッシュ）を細かくすればするほど，マンハッタン経路はいくらでも目的とする曲線に近づけることはできるのですが，マンハッタン距離は不変です．
（メッシュで定義される碁盤の目のデジタル世界でも，差分により微分係数が定義できますが，そのときもユークリッド距離を用いて定義します）

マンハッタン経路で定義される曲線は，無限回折れ曲がりを繰り返すことで，目的とする曲線にいくらでも近づきますが，マンハッタン距離が変化するわけはありません．

繰り返しの手順を見て，折れ線のフラクタルとみなしフラクタル次元を求めると，この折れ線の次元はやはり１次元になりました．折れ線の幅がフラクタル次元を生むというような説明も見かけましたが，そうではなくフラクタルはこの問題では関係ありません．この問題で人を驚かせるパラドックスの原因は,単純に距離の定義の違いによるものです．
定義が違うものなので違って当然なのですが，2つの曲線は限りなく近づいて行きますので，定義の違いを忘れて同じ長さだと思ってしまうのが間違いの源です．