MAM2000

投稿日時: 2019/06/17 システム管理者

Mathematics Awareness Month ( MAM )――April,2000

     「 Mathematics Span All Dimensions/ 数学は全次元に 」

次元たどりの象徴図柄――MAM2000の電子ポスタ−にある「山羊の角」は,0次元空間から多次元空間への道標である.各分野に貢献した11名の業績を紹介する.山羊の角の先端(0 次元空間)から,1次元の地層コアサンプルやレ−シングカー地形(R.Tapia),E. A. Abbottの“平面国”やG.Pixerのアニメーションスタジオの2次元世界へ,バレ−振り付け,結晶幾何学(M.Senchal)の3次元から,重力レンズ(A.Petlers)の4次元,より高次元の宇宙論,超空間,Madeleine L'Engleの小説”時間のひだ”へと導かれる.

数学的な点,線,面,空間,高次元――
海上で,或いは顕微鏡試片に位置を定めるのは繊細な仕事である.位置は一つの直線上や一つの曲線上であれば,1数字で記述できる.1点が定まれば他の点はそれからの距離で特定できる.地図上の位置は2つの数字 緯度と経度を必要とする.地球表面からの高度或いは深度があれば3座標,緯度,経度と高度(正数)又は深度(負数)となる.調査や試料採取には位置決めがついてまわり,3つ,4つ或いはそれ以上の数字を必要とする.数学者がパタ−ンを求める時,コンピュ−タが大きな役割を演じる.2乃至3個の変数をもつ位置の集合をコンピュ−タ画面上に表示でき,これらを動かして見ると,位置デ−タの原簿では明らかでなかったパタ−ンが見えてくる.デ−タのこの様な処理は,探索的データ解析と呼ばれJ.Tukeyがその先駆者である.点とはその位置を示す特性に過ず,長さ,幅,高さ,厚み,容積を持たない.数学ではこれを0次元と呼ぶ.
線分は1次元の対象で,両端末が定まれば,線分上の各点を一つの記号で特定できる.1つの端末点を0,他端末点を1として,中間点は1/2と特定する.線分が絡まりあるいは平面と係わると記号は増えるが線分は1次元のままだ.1次元空間の好例は地質学者が採取する地中標本で,深く掘り下げて,各深度の地質を調べることができる.勿論 試掘点の緯度・経度を記録する二つの記号は必要である.この分野では,古代生態学のT.Webbが貢献している.円周は1次元で起点から0〜360でどの位置も現せる.
水平・垂直で構成される直方形は2次元空間の例で,直方形のどの位置も二つの記号で表現でき,基点を左下隅から右上隅に変えても,二つの記号である事は変わらない.複数の直方形の中から一つを選ぶ場合は,二つ以上の記号を要する.平面座標に並べられた直方形は2次元物の4次元集合となる.直方形の1点を軸に回転させると,もう一つの次元・回転角を加え,この種の回転は2次元コンピュ−タ画面にアニメ−ション等の応用をもたらす.
2次元物を平面上で回転させたと同じように,3次元物を空間で自在に回転させると3Dコンピュ−タ画像上に素晴らしいアニメ−ションを実現する.19世紀以来,時間が3次元空間に付加されて,4次元を構成すると考えられ,20世紀物理学で発展してきた.何処(3次元)で何時(1次元)と催し物を明示するのは,数学では4次元(abct)となる.時間以外にも4次元があり,これをどの様に表現するかが問題で現代物理学では10〜26次元の展開をしている.超紐理論のM.Kaku,宇宙学のJ.Weeks,M.L'Engleの“時間のひだ”は5次元世界の出来事を述べる小説,バレ−の振り付け師J.Strandbergやアニメ−タE.Catmull, T.DeRoseも多次元世界を駆使している.アニメやビデオ・ゲ−ム制作にも数学が必要となる.Tani/Katase