MAM1997

投稿日時: 2019/06/17 システム管理者

数学強調週間 ( MAW )――4月20〜26日, 1997年

  「 Mathematics and the Internet/ 数学とインタ−ネット 」

   ◇ テ−マ・エッセイ
数学とインタ−ネットは,言語とシェクスピアの作品との関係とよく似ている.というのは,彼の作品は言語なくしては考えられないからである.一方,彼の作った詩や演劇の中では,逆に使われた「言葉」を豊かにしている.コンピュ−タは,数学という言語の中から生まれた.二進数がもとになって,コンピュ−タは言葉,音楽,画像などを表現させる事ができ,そして今や,PCマシンは 0と1の2数だけでインタ−ネットを通じてそれらを伝達する事ができる.コンピュ−タは,その様々な動作やインタ−ネットのアドレス設定,さらには情報検索エンジンさえも,数学の論理を使った公正なル−ルに従っている.インタ−ネットの世界では,数学はメッセ−ジや金銭取引の秘密保持の心臓部として,機能している.また,数学は,大容量ファイル伝送時のデ−タ圧縮,符合化およびエラ−修正のための基礎的ツ−ルである.また,数学は,電子メ−ルの住所管理やWWW(世界規模の情報検索=Web)検索のためのデ−タベ−スの土台であり,メッセ−ジ発送やネットワ−ク管理の代理人としての役割もある.また,インタ−ネットは,数学の学術研究や教育の進展に大きく貢献しているのだ.教育者や学術研究者のグル−プは,電子メ−ルやニュ−スグル−プ(会員制掲示板)さらには,特別なWebを通じて情報交換している.
また,インタ−ネットは,2000年間, 安全と考えられてきた慣例信号コ−ドを壊し,数十の国を通してコンピュ−タを横断的に結合する最近の協同努力ともいうべき分散処理(Distributed Computing)を支えている.
インタ−ネット上の管理デ−タ―――殆どの人が知っているように,インタ−ネットメッセ−ジ,電子メ−ル,画像,音声,デ−タベ−ス検索結果は,すべて0と1の連続信号として伝送される.数学はこの二進数への変換と伝送という二つの領域の中枢である.
インタ−ネットのセキュリティ―――インタ−ネット上のセキュリティは銀行の金庫室の安全と全く同様に重要である.
セキュリティの範囲は,メッセ−ジのプライバシー維持とコンピュ−タの完全保全であり,その他多くの問題の中で金銭取引の信用保持も含んでいる.
急速に進展しつつあるインタ−ネット市場は,例えば何百年来の古い整数論に過去20年の新しい知見を結びつけた秘密コ−ドに大きく依存している.
更に,このようなコ−ドを解読するための努力が,広く配置されたマシンで分散処理する様に,インタ−ネットを利用してなされる順番に行う分散処理は多数の素数因子に対する系統的探索に関するフェルマ−の古い手法を,近代的に拡張する決定的な方法で支えられている.
デ−タベ−スと検索―――Alta VistaとかYahooのような強力な検索エンジンによって,インタ−ネットユ−ザ−は全てのサイバ−空間に隠された専門化された情報の金塊を見つけ出す事ができる.これらほとんどの検索ツ−ルの心臓部は,キ−ワ−ドの索引にある.各々の索引は,キ−ワ−ドを含むWebサイトのエントリ−リストに載せられる.
(ある検索の索引で“数学”へのエントリ−は332,966サイトと表示される).
理想的な検索エンジンは,与えられたキ−ワ−ドについて全てのエントリ−索引を横切るだけでなく,検索者の要求に応じて
各表示サイトの関連可能性を反映した優先性評価をも返信する事である.
最新のある理論では,関連性のある幅広い検索は結果として索引の中に情報のベクトル空間モデルを導入する.空間の座標は索引の項目であり,誰もが検索できるキ−ワ−ドの語彙である.各Webサイトは,そのキ−ワ−ドの上でヒットする事で座標が決まる空間の一点である.そこでは多分最も関連するキ−ワ−ドに最大の座標値が与えられる.同類の情報を持つサイトは最寄りの空間中のある点によって代表される.
検索とは,非常に高次元の空間中で理想的には空間の次元より速くなる計算でもって,最も近い隣人を探す問題といえる.これらの空間にどのように情報が配分されるかという確率的モデルの割付けは標準的でない幾何学に導かれる.例えば不等辺三角形(二辺の和が残った一辺よりいつも長い)は役に立たない.むしろ,更なる効率的な検索演算法の発見への挑戦を複雑にする.代数的透視からキ−ワ−ド座標のベクトルは,情報サイト投射マトリックスに対してキ−ワ−ドの縦の列と考えられ,与えられたあるキ−ワ−ドに対応する列を横切って そのキ−ワ−ドを含む各サイトのいずれかにエントリ−する.最終目標は,キ−ワ−ド間の関係を明らかにする事によって,同類の情報をもつサイトを見つけ出す事である.
親戚関係デ−タベ−スの処理に関するル−ルは,そのデ−タベ−ス構造に対する代数的相関あるいは解析的相関により数学的に定義される.数学はデ−タベ−ス構成を記述するフレ−ムワ−クであり,数学的ツ−ルはそれらの効率と信頼性を改良するための基礎である.
経路とネットワ−クの構成―――中規模のロ−カルネットワ−クは相互に通信する一万組の結節を有する.彼等が分配するメッセ−ジは,ネットワ−クのトラック上を光の速度で走っている列車のようなものである.汽車の各々の車両は1メッセ−ジの一部分を運ぶ,それはあたかも長い手紙が一連の多数の葉書に別けて書かれ,それが車両一台に一枚づつ別けて乗せられるようなもので,通常一つの列車には多くのメッセ−ジからの葉書が混載される.待合わせ理論(Queuing Theory)の数学的思考は,これらのメッセ−ジの束の大きさと列車の到着のパタ−ンに関する情報に基いてメッセ−ジを取り扱う通信方式の挙動を予測する事ができる.(古典的待合わせ理論では顧客の到着パタ−ンと窓口時間が与えられると銀行での待ち時間を見積もる事ができる.)しかし交互メッセ−ジを扱う方式の研究はメッセ−ジ交通の数学的モデルに基いている.良いモデルは新しい方式が待合わせ理論の予測と実際に同様な形になる事を保証し,悪いモデルは方式を開発する人に履行し得ない事を約束させる事態に導くだろう.
情報検索(Web)上の数学―――数学者はインタ−ネットとWWW=Webの利得をフルに享受している.これらのツ−ルは彼等に教育と学術研究の向上のため地理的或いは学問上の境界を超えてアイディアと技法,そして資源を共用させている.
数学とインタ−ネット―――数学はインタ−ネット操作の言語である.
それは言葉や映像を叙述する二進数からWWW=Web=情報検索に対する検索エンジンの複合的デ−タ構造に至るまでを含む.
整数論のような分野からの新旧アイディアの巧みな組み合わせによって,金銭取引保証に関するデ−タ暗号化のようなインターネットのキ−テクノロジ−の開発が可能になった.
同時に,インタ−ネットによって,数学教師や研究者の間で世界規模的に協調が進み始めている.その協調によって,幼稚園から大学までの教育を促進し,又純粋数学と応用数学の最も難しい問題に対する我々の認識が高められつつある. Funada/Katase