繰り返し模様pgg2

投稿日時: 2021/01/20 システム管理者

今回は,平面群の第4のクラスの説明です.このクラスは,直交する映進面がありますので複雑です.映進面1つのパターンpgの例を参照ください.

以下のペルシャのパターンが,pgg2の繰り返し模様の例です.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

国際記号で$$ pgg2 $$,ロシア式記号で$$(b:a):\tilde{b}:\tilde{a}$$と書かれるものです.
[構成方法1] 
① 2回対称軸が$$a$$軸方向に周期的に配列した1次元構造
(図の1番上の行にあります); この対称性は$$(a):2$$
② この1次元構造を,$$b$$軸($$a$$軸に垂直)方向に平行な映進面$$\tilde{b}$$に沿って
映進すると,2次元のパターンが得られます.  対称性$$( b:a) :\tilde{b}:\tilde{a}$$
(注) 1次元構造$$( b) :2$$を映進$$\tilde{a}$$で繰り返し広げても同じ構造が得られます.
[構成方法2]
互いに直交する2つの映進面$$\tilde{a}$$,$$\tilde{b}$$が作用すると
このパターン$$( b:a) :\tilde{b}:\tilde{a}$$が得られます.

上記の2つの構成方法を等しいと置くと,$$\tilde{b}:\tilde{a}=2 \odot \tilde{a}$$となり
これは,点群$$2m$$に同型な,拡張された点群であることがわかります.

(注)$$\odot $$
2つの直交する映進面$$\tilde{a}$$と$$\tilde{b}$$の組み合わせは,
交差する直線(不動線)がありますが,2回軸$$2$$と映進面$$\tilde{a}$$の組み合わせは,
互いに平行で交差しません.
記号$$ \odot $$は交差しない対称操作の組み合わせであるときに用いる記号です.
(注)拡張された点群 
$$\tilde{b}:\tilde{a}$$の組み合わせも,$$2 \odot \tilde{a}$$の組み合わせも,それらの対称操作を繰り返すと
並進の成分が生まれます.そのため,格子分だけ移動したものは同値としないと点群になりません.このような拡張された点群は,格子を核として写像すると点群に帰着できます.この場合は群$$2m$$と同型になります.