koptsik-ch12-5

投稿日時: 02/12 システム管理者

 

複合系(составные системы; composite systems)

対称群の重ね合わせの原理
変化の法則と対称性の保存

 完全系(целостные системы; integral systems)を構成する自然物を扱うときに,まず第一に気づくのは,その構造の複雑な複合性である.どのような物質対象も,部分構造の相互貫入,特定の配向や従属によって特徴付けられる.
例えば,現代物理学の最大関心事である「素粒子」の内部構造もそうである.原子(かつては「不可分」と考えられていた)は,原子核(核子で構成)と殻に分布した電子からなる.
原子やイオンは,分子,結晶,生体高分子の構造などの次の構造レベルを形成する.惑星系,恒星系,銀河系,超銀河系に至るまで,多種多様な巨視的物体の構造は複合的である.原子・分子型から始まり,完全な生物体や生物社会に至るまで,生物系には複雑な複合性が見られる.社会システムはそれ自体が複合的な構造を持っている.

   完全系組織の複合性(сложный композиционный; cpmplex composite)は,系ごとに分離し,それらの構造的なサブレベルを分離するという方法論を刺激するものである.これは,系そのものの科学的研究にも,他系との関係や部分系(subsystems)間の関係を明らかにするためにも不可欠である.
統合するために分割せよ(Разделить для того, чтобы объединить; Divide to unite),これが科学研究のモットーである. 本質的でない関係を切り離し,注目する関係に係わる分離された系の性質のみに興味を集中する.科学は,現実系の単純化したモデルを構築し,これをその後の研究の対象とするのである.
これが,外部とエネルギーや物質の交換可能な開放系に対して,閉鎖系や孤立系という科学的抽象化をする原点である.系の詳細な分類や,その一般的な性質の提示は省き[例えば,Structure and Forms of Matter (1967) and Problems of Methodology in System Study (1970)参照],この章の残る部分で,本書の中心課題である系の対称性と,構造,特性との関係について研究を続けることにする. 

   我々はすでに多くの幾何学的な例により,構造は対応する自己同型変換群(групп автоморфных преобразований; automorphic transformations)の不変量であることを立証している.物質系の幾何学的構造の対称性は(正しい定義に従えば),当該構造がもつ性質や関係の最小限の対称性でもある.系のすべての部分構造に,その部分構造の中で要素を互いに変換する独自の自己同型群を結びつけることができる. 
系を部分構造レベルに分離する妥当性は,その部分構造の要素に同値関係*を成立させる変換群が存在するかどうかで確認できる.ここでは,複合材料系の特性モデル化としての複合幾何図形を考察することで,部分構造の対称群と系全体の対称群との関係を検討する. 

   いくつかの例に目を向けよう.図8は,五芒星と正方形の重ね合わせによる複合図形である.構成する2つの図形は,運動や相似変換によって互いに変換することができないため,幾何学的に異なる.正方形[単面平面(на односторонней плоскости; on a one-sided plane)上にある]は,$$G_{1}=4mm$$の対称性を持ち,五芒星は$$G_{2}=5$$の対称性を持っている.形成された複合図形全体は,この2つの群の唯一の共通部分群である$$G=1$$の対称性を持っている.2つの群の与えられた配置における,それらの共通な部分群を求める操作を交叉(пересечением; intersection)といい,記号$$ \cap$$と書く :$$G=G_{1} \cap G_{2}$$,例えば,$$1=4mm \cap 5$$で標記される.同値関係で結ばれていない部分構造の対称性は,全体としての系の対称性より低くはないことがわかる:$$G_{i} \supset G (i=1, 2)$$.
非等価な部分から複合図形を形成する過程は,部分の対称性に比べて全体の対称性が低下し系の非対称化(диссимметризацией; dissymmetrization)を伴う.一方,等価な部品から複合系を形成する場合には,逆の過程,対称化(симметризации; symmetrization)が起こる.
図5bは,正3角形で構成された図形(正6角形)である.正3角形の固有対称性は$$G_{i}=3m$$であり,系全体の対称性は$$G=6mm$$である.系の対称性$$G$$は,この場合,群$$G_{i}$$の交叉$$( \cap _{i=1}^{6}G_{i}=G_{1} \cap G_{2} \cap \cdots \cap G_{6})$$にならない:  $$\cap _{1}^{6}3m=1$$.
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* 定義によれば, $$a, b, c$$の要素に対する二項関係($$ \sim $$で表す)は, $$a \sim a$$(反射性),$$a \sim b$$なら$$b \sim a$$(対称性),$$a \sim b$$と$$b \sim c$$なら$$a \sim c$$(推移性)の三つの性質を満足すれば, 同値関係である. 例題では, 図形の計量的性質を保存する同値関係に興味がある. 
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一方,群の合併(объединением; union)($$ \cup _{1}^{6}G_{i}=G_{1} \cup G_{2} \cup \cdots \cup G_{6}$$,これには,対称要素の与えられた空間配置をもつ6つの群のすべての変換を含む)とも一致するわけでもない.
集合$$ \cup _{1}^{6}3m$$は,6つの3角形の各中心に生じた3回軸,6角形の中心を通らない6枚の鏡映面$$m$$,中心を通る3つの鏡映面$$m$$よりなり,この集合は群をなさない.図形の中心を通る2枚の鏡映面は群$$G_{i}^{*}=3m \subset 6mm=G$$を生成する.$$G_{i}^{*}$$は$$G_{i}$$と同型で,6角形の中心を3角形の中心に一致させる平行移動演算$$S$$で,$$G_{i}^{*}$$に還元される:$$G_{i}^{*}=SG_{i}S^{-1}$$

群$$G_{i}$$の合併も交叉も,考察中の複合系(составной системы; composite system)の対称性を記述できない.その理由は,全体の中で3角形間に成り立つすべての同値関係が含まれていないためである.
一般に,配向平面上の任意の2つの図形は,合同で等しいか鏡像で等しい場合,すなわち,2次元連続体$$p_{00} \infty mm$$の運動群の変換$$S$$作用で互いに一致するとき,計量的に等価であるとされる.ある固定図形に,すべての変換$$S \in p_{00} \infty mm$$を適用すると,幾何学用語でいう「体」を形成する等価図形の連続体が得られる.等価図形の有限系は,この包含群(охватывающей группы; embracing group)または基本群(фундаментальной ;  fundamental group)$$p_{00} \infty mm$$の部分群の対称性を持つことになる. 
   部分群$$G_{i}$$が,1つの固定された基本群あるいは包含群$$G_{\textrm{emb } }$$に属するという事実は,空でない交叉$$ \cap G_{i} \neq \phi $$( $$\phi$$ は空集合)の存在を保証し,複合図形の対称性の概念を特定するに十分である.例えば,正6角形(図5b)で,交互の3角形を黒(共通の辺を持たない3つの三角形を黒)く塗り,黒-白図形を得る.その反対称群$$\left( 6'mm' \right) $$は拡張された包含群$$p_{00} \infty mm1'$$に属する.
   考察中の例を一般化して,定義により,部分を決定している対称群$$G_{i}$$の交叉$$ \cap G_{i}$$は,固定した包含群$$G_{\textrm{emb } } \supset G_{i}$$のレベルで,部分が図形の正則系( правильной системы; regular system)を形成していなければ,異種混成(гетерогенного ; heterogeneous)幾何学対象の対称群$$G$$である.
もし,一様(гомогенного; homogeneous)な幾何学対象の部分が図形の正則系を形成するなら,その対称群$$G$$は部分群の拡大(расширение; extension)$$ \cap G_{i} \subset G$$である.ただし,剰余類(添え字$$S$$は対称化(symmetrization)の意)の代表系$$G^{S}=\left\{ g_{1},g_{2}, \cdots ,g_{j} \right\} $$は,同一の包含群$$G_{\textrm{emb } } \supset G_{i}$$に属し,あるいは,何らかの同型な,例えば,色付きなどの一般化包含群$$G_{\textrm{emb } }I^{(p)}$$に属する$$G^{(p)S}=\left\{ g_{1},g_{2}^{(p)}, \cdots ,g_{j}^{(p)} \right\} $$:
$$G=\left( \cap G_{i} \right) g_{1} \cup \left( \cap G_{i} \right) g_{2} \cup \cdots \cup \left( \cap G_{i} \right) g_{j}= \cap G_{i} \odot G^{S}$$
[ここで,$$ \odot $$は対称化あるいは非対称化演算]
明らかに,もし,$$G_{i}$$,$$G^{S} \subset G_{\textrm{emb } }$$ならば,群$$G \subset G_{\textrm{emb } }$$;もし,$$G^{S}$$を$$G^{(p)S}$$で置き換えるなら,$$G$$は一般化(色付き)群になる.
   対称化演算(симметризации; symmetrization),すなわち,部分群$$H= \cap G_{i}$$から群$$G$$への移行は,部分集合の合併$$G=H \odot G^{S}= \cap G_{i}$$と解釈できる.ここで,$$ M=G\backslash H=Hg_{2} \cup \cdots \cup Hg_{j} $$は,$$G(g_{1}=e,g_{2}, \cdots ,g_{j} \in G^{S})$$に対する$$H$$の補集合(теоретико-множественное дополнение; set-theoretic complement )である. 
その逆演算の非対称化(диссимметризации; dissymmetrization)は,$$ H=G \odot G^{D}=H \cap M=G\backslash M $$で,拡大$$G$$から補集合$$M$$を除いた(сводится к отбрасыванию из расширения G дополнения М)ものである.対称化あるいは非対称化の演算子$$G^{S}, G^{D}$$を用いると,特定の群$$G_{i}$$を固定することで,交叉$$ \cap G_{i} \subset G_{i}$$を$$\cap G_{i}=G_{i} \odot G^{D*}$$と書ける.すなわち,$$G= \cap G_{i} \odot G^{S}$$は,$$ G=G_{i}\odot G^{D*} \odot G^{S} $$となる.他方,$$G=G_{i} \odot G^{S*} \odot G^{D**}$$,ただし,$$G_{i} \odot G^{S*}=G_{\textrm{emb } }$$,$$G=G_{\textrm{emb } } \odot G^{D**}$$である.その結果,
$$G=G_{i} \odot G^{D*} \odot G^{S}$$ および,$$G=G_{i} \odot G^{S*} \odot G^{D**}$$.ここで,対称化$$G^{S}, G^{S**}$$は,同型な色付き演算に置き換えられ,探していた全体と部分の対称関係(соотношения связи между группами симметрии целого и части)の記号的表現を得る.
これらは,図形の正則系を構成する部分よりなる複合幾何物体で成立するだけでなく,構成点が超幾何的性質(色)を付与されている一般化された幾何(物質)対象でも成立する.この結論は,群拡大の定理の結果に直接基づいている.複合物理系へ拡大し,対称群の重ね合わせの一般原理(複合系に対する対称性原理)となる.これは,一般に,群の交叉や合併にはならない.このことは,等式$$G=G_{i} \odot G^{D*} \odot G^{S}$$を,次の型に書き直すなら明瞭である.
$$ G= \cap G_{i} \cup M,  M=G\backslash\cap G_{i} \neq \phi $$         (11)
異種混成系の特別な場合は次のようになる. 
$$G= \cap G_{i} , M= \phi , G^{S}=e \in G$$       (12)
式(12)より,次のことがいえる.異種混成系物質(heterogeneous)では,部分の対称性は,全体の対称性より低くはならない:$$G_{i} \supset G$$.
部分と全体という概念に具体的な意味を持たせると,この原理は様々な言い換えができる.例えば論理の公理では,[ある理論の仮説が群Gに対して不変であるならば,結論についてもそう言える(G. Birkhoff, 1950)]
あるいは,物理的な因果律では,[ある原因がある結果を生むとき,原因の対称要素は結果に観測されるべきである(P. キューリー, 1894)].
もちろん,これらの新しい主張の正当性は,我々の幾何学的証明とは独立して確立される必要がある.

同時に,物質的に均質な系に対しては,式(11)から,系$$G$$の部分系の対称性について,式(11)から他の可能性が導ける.
$$G_{i} \supseteq G ,  G_{i} \subset G$$, あるいは,$$G_{i}\not \supset G ,  G_{i} \not\subset G$$
ここで,もし必要なら,$$G_{i}$$を同型な古典あるいは色付き群に置き換え:$$G_{i}^{*}=SG_{i}S^{-1}, S \in G_{\textrm{emb } }$$,あるいは,$$G_{\textrm{emb } }I^{(p)}$$(ここで,$$S$$は相似変換で,対称化演算で用いた上付添字$$S$$と混同しないように).このような場合に対応する因果律 は,後述する確率統計的な性格を持つようになる.