システム管理者
［定義］剰余類
群$$G$$とその部分群$$H$$があるとき，
$$a \in G$$に対し，$$aH=\left\{ ah;h \in H \right\} $$を，$$H$$に関する$$a$$の左剰余類という．
$$H$$が正規部分群であれば，左剰余類と右剰余類は一致する：$$aH=Ha$$
群$$G$$がAbel群なら，そのすべての部分群は正規部分群であり，左剰余類と右剰余類は一致する．
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■［定義］同値関係
群$$G$$と部分群$$H$$があり，$$a, b \in G$$のとき，$$a^{-1}b \in H$$ならば，$$a,b$$は同値$$a$$～$$b$$とする．
この同値関係で，類別を行ったものが，左剰余類$$b \in aH$$である．
集合$$M$$の元に，同値関係$$ \sim $$があれば，$$M$$の同値類別$$M/ \sim $$（直和分割）がただ一つの方法でできる．
同値関係とは，次の同値律を満たす関係である：
1° 反射律，$$a \sim a$$
2° 対称律，$$a \sim b$$ → $$b \sim a$$
3° 推移律，$$a \sim b$$，かつ，$$b \sim c$$ → $$a \sim c$$
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[定理１]
$$a, b \in G$$のとき，群$$G$$の部分群$$H$$の左剰余類が$$aH=bH$$であることと，$$a^{-1}b \in H$$とは同値である．
(証明）
$$b \in bH=aH$$であるから，$$a^{-1}b \in H$$
逆に，$$a^{-1}b=h_{1} \in H$$であるなら，$$b=ah_{1} \in aH$$
もし，$$^{ \forall }b' \in bH$$をとれば，$$b'=bh$$となる$$^{ \exists }h \in H$$がある．
ゆえに，$$b'=ah_{1}h \in aH$$である．従って，$$bH \subset aH$$．
$$H$$は群であるから，$$a^{-1}b \in H$$なら，$$\left( a^{-1}b \right) ^{-1}=b^{-1}a \in H$$である．
ゆえに，$$^{ \exists }h_{1} \in H$$が存在し，$$b^{-1}a=h_{1}$$，$$a=bh_{1}$$．
もし，$$^{ \forall }a' \in aH$$をとれば，$$a'=ah$$となる$$^{ \exists }h \in H$$がある．
ゆえに，$$a'=bh_{1}h \in bH$$である．従って，$$aH \subset bH$$．
$$aH=bH$$が結論される．
［定理２］
$$aH \neq bH$$ならば，$$aH \cap bH= \phi $$
（証明）
$$c \in aH \cap bH$$とする．
$$c=ah_{1}=bh_{2}$$となる適当な$$^{ \exists }h_{1}, ^{ \exists }h_{2} \in H$$が存在する．ゆえに，$$a^{-1}b=h_{1}h_{2}^{-1}$$
$$H$$は群であるから，$$a^{-1}b \in H$$となる．定理１により，$$aH=bH$$.
［定理３］
$$G=a_{1}H \cup a_{2}H \cup \cdots \cdots \cup a_{n}H$$, $$^{ \forall }a_{i} \in G$$, ($$i=1,2, \cdots ,n$$)$$n$$は$$G$$の位数．
しかし，適当な$$a_{i}$$を$$r$$個選び，$$r$$個の直和で表現できる．$$r$$は一意に決まる．
$$G=a_{1}H+a_{2}H+ \cdots \cdots +a_{r}H$$
[演習]
■定理3で，直和分解の数$$r$$は一意であることを証明せよ．
■$$G=Ha_{1}+Ha_{2}+ \cdots \cdots +Ha_{r}$$ならば，$$G=a_{1}^{-1}H+a_{2}^{-1}H+ \cdots \cdots +a_{r}^{-1}H$$であることを証明せよ．
（証明）
$$^{ \forall }c \in G$$をとると，$$^{ \exists }a_{i}$$があり，$$c^{-1} \in Ha_{i}$$．すなわち，$$^{ \exists }h_{1}$$があり，$$c^{-1}=h_{1}a_{i}$$
$$c=a_{i}^{-1}h_{1}^{-1} \in a_{i}^{-1}H$$. ゆえに，このような$$r$$個の剰余類で表現できる．
次に，$$Ha_{i} \cap Ha_{j}= \phi $$ → $$a_{i}^{-1}H \cap a_{j}^{-1}H= \phi $$を証明する．
対偶の証明：
$$a_{i}^{-1}H \cap a_{j}^{-1} \neq \phi $$ならば，定理2により，$$a_{i}^{-1}H=a_{j}^{-1}H$$と完全に重なる．
$$ \forall c \in a^{-1}_{i}H=a_{j}^{-1}H$$なので，$$c=a_{i}^{-1}h_{3}=a_{j}^{-1}h_{4}$$と表現でき，$$c^{-1}=h_{3}^{-1}a_{i}=h^{-1}_{4}a_{j}$$
ゆえに，$$c^{-1} \in Ha_{i}=Ha_{j}$$
［定義］部分群の指数
群$$G$$の位数を$$g$$，部分群$$H$$の位数を$$h$$とする．$$g/h=r$$．（直和分解の剰余類の数）
部分群$$H$$の位数は群$$G$$の位数の約数である［Lagrangeの定理］．
$$r$$を部分群$$H$$の群$$G$$における指数という．
［定義］ 正規部分群
$$^{ \forall }a \in G$$に対して，$$aHa^{-1}=H$$（あるいは，$$aH=Ha$$）であるとき，部分群$$H$$は正規であるという．$$H$$が群$$G$$の正規部分群であることを，$$G \vartriangleright H$$と標記する．
･群$$G$$がAbel群ならば，すべての部分群は正規である．
［定義］２つの自明な正規部分群（自分自身および，$$\left\{ e \right\} $$）以外に，正規部分群を持たない群を，「単純群」という．
２つの左剰余類の積に関して，$$aH \cdot bH=abH$$が成立する．
［演習］剰余類の代表元が異なっても，$$aH=a'H, bH=b'H$$ → $$abH=a'b'H$$が成立する．
（証明）
$$abH=a(bH)=a(b'H)=aHb'=a'Hb'=a'b'H$$
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［定義］剰余群（商群）factor group $$G/H$$
$$G \vartriangleright H$$のときに，剰余類全体は，$$H$$を法とする群$$G/H$$をなす．
［演習］$$G/H$$は群をなすこと（以下の条件）を確認せよ．
1°$$\left( aH \cdot bH \right) \cdot cH=aH \cdot \left( bH \cdot cH \right) $$
2°$$eH=H$$が単位元
3°$$aH$$の逆元は，$$a^{-1}H$$
［定義］中心化群
群$$G$$の部分群$$S$$があり，$$S$$のすべての元と可換な$$G$$の元の集合を$$Z(S)$$と標記し，$$S$$の中心化群という．$$S=G$$のときは，$$Z(G)$$を$$G$$の中心という．$$Z(G)$$は可換群である．
［定理］$$Z(S)$$は$$G$$の部分群である．
（証明）
$$x, y \in Z(S)$$ $$\Rightarrow$$ $$xy^{-1} \in Z(S)$$を証明する．
$$^{ \forall }s \in S$$（部分群）に対して，$$xs=sx$$と$$s^{-1}y=ys^{-1}$$すなわち，$$y^{-1}s=sy^{-1}$$から出発する．
$$xy^{-1}s=xsy^{-1}=sxy^{-1}$$，ゆえに，$$xy^{-1} \in Z(S)$$．
［定義］共役部分群，共役元
群$$G$$の部分群$$H$$があり，$$^{ \exists }a \in G$$に対して得られる$$a^{-1}Ha$$を$$H$$の共役部分群という．
［演習］$$H$$が部分群であるとき，$$a^{-1}Ha$$は群となることを証明せよ．
(証明) $$a^{-1}h_{1}a, a^{-1}h_{2}a \in a^{-1}Ha$$のときに，
$$\left( a^{-1}h_{1}a \right) \left( a^{-1}h_{2}a \right) ^{-1}=a^{-1}h_{1}aa^{-1}h_{2}^{-1}a=a^{-1}h_{1}h_{2}a \in a^{-1}Ha$$
単位元$$(a^{-1}h_{1}a)(a^{-1}ea)=a^{-1}h_{1}a$$，逆元$$(a^{-1}h_{1}a)(a^{-1}h_{1}^{-1}a)=a^{1}ea$$も存在することは，$$H$$が群であるから当然である．
[定義]共役集合
群$$G$$の部分集合$$S$$に対して，$$a \in G$$で変形した$$S$$の共役集合$$a^{-1}Sa$$が，自分自身に等しい$$a^{-1}Sa=S$$（自己共役のとき），$$G$$の元$$a$$からなる集合$$N(S)=\left\{ a \in G:a^{-1}Sa=S \right\} $$は，$$G$$の部分群をなす．
［演習］$$S$$の自己共役集合を作る$$N(S)$$は群をなすことを証明せよ．
（証明）
$$a \in N(S)$$ならば，$$a^{-1} \in N(S)$$となる．従って，$$a, b \in N(S)$$なら，$$ab^{-1} \in N(S)$$となり群の条件を満たす．
［定義］正規化群
$$H$$が$$G$$の部分群であるとき，$$H$$の自己同型を作る$$N(H)$$を正規化群［すべての代表元系の作る群］という．
正規化群$$N(H)$$のなかで，$$H$$は正規部分群である：$$N(H) \vartriangleright H$$と言えるか．
これを証明せよ．