koptsik-ch10-4

投稿日時: 01/25 システム管理者

  ある共型群で,群$$G$$を$$T$$を法とする群$$G^{T}$$で置き換え,導かれる非共型群$$\mit\Phi _{nsym}=T \bigcirc G^{T}$$は,商群が同一の結晶点群に同型である類縁の群の系列を形成する.$$2/m$$の系列を考察に選ぶとすれば,非共型群$$P2_{1}/m, P2/b, P2_{1}/b$$の剰余類による標準的分解は,次のようになる(ここでは,剰余類が$$P2_{1}$$,等々と標記されている.空間群の場合も同じ標記をしたので混乱しないように注意せよ!) 
$$P2_{1}/m=P1+P2_{1}+P\overline{1} +Pm$$
$$P2/b=P1+P2+P\overline{1} +Pb$$
$$P2_{1}/b=P1+P2_{1}+P\overline{1} +Pb$$
これらの群の並進部分群に関する商群,すなわち$$P2_{1}/m/P,   P2/b/P,   P2_{1}/b/P$$の乗積表

$$ \begin{array}{c|cccc} & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pm \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pm \\[0mm] P2_{1} & P2_{1} & P1 & Pm & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pm & P1 & P2_{1} \\[0mm] Pm & Pm & P\overline{1} & P2_{1} & P1 \end{array} $$ $$ \leftrightarrow $$

$$ \begin{array}{c|cccc} & P1 & P2 & P\overline{1} & Pb \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2 & P\overline{1} & Pb \\[0mm] P2 & P2 & P1 & Pb & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pb & P1 & P2 \\[0mm] Pb & Pb & P\overline{1} & P2 & P1 \end{array} \leftrightarrow $$

$$ \begin{array}{c|cccc} & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pb \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pb \\[0mm] P2_{1} & P2_{1} & P1 & Pb & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pb & P1 & P2_{1} \\[0mm] Pb & Pb & P\overline{1} & P2_{1} & P1 \end{array} $$

は,実際に,点群\$$2/m$$の乗積表と同一の構造を持つ.証明には,群$$\mit\Phi $$の標準分解で,固定した単位胞に属する各対称元要素が,剰余類$$Tg_{i}$$の代表元となる演算子$$g_{i}$$に対応していることに注意しよう.共型群$$P2/m$$では,標準のセットは,例えば,点群$$2/m$$の単位胞の左上角(原点とする)を通過する対称要素(元)を含んでいる.非共型群$$P2_{1}/m, P2/b, P2_{1}/b$$では,これらの元は,一般には単一点を通過しないので,できるだけ原点に近いもの(これらの群の投影は,図214ですべての対称元が同一色であれば,それらと同型な色群に一致する)を選ぶと都合が良い.このように,非共型群の分解における,代表元$$g_{j}^{T}$$の選出法を固定し,それらの演算子$$[D_{j}|\alpha _{j}]=[E|\alpha _{j}][D_{j}|0]$$を比較しよう.
共型群$$P2/m$$の標準セットの演算子$$[D_{j}|0]$$に一致するようにこれらの"基底"演算子の直交部分$$[D_{j}|0]$$を選ぶ.言い換えると,非共型群では,実あるいは虚の対称面と軸が,共型群でと同様,非共型胞で同一位置を占めるとし直交変換$$[D_{j}|0]$$を実行するが,引き続き次に,これらを変換$$[E|\alpha _{j}]$$で補う.簡潔に言えば,演算子$$[D_{j}|\alpha _{j}]$$中で記号$$D_{j}$$を$$g_{j}$$で置き換え,展開をあらわな演算子の形式で,剰余類$$Pg_{j}^{T}=\left\{ [E|\tau _{i}] \right\} [D_{j}|\alpha _{j}]$$書ける:
$$P1=P\left[ 1|0 \right] , P2_{1}=P\left[ 2|\displaystyle \frac{c}{2} \right] , P\overline{1}=P\left[ \overline{1}|0 \right] , Pm=P\left[ m|\displaystyle \frac{c}{2} \right]$$  for $$P2_{1}/m$$
$$P1=P\left[ 1|0 \right] , P2=P\left[ 2|\displaystyle \frac{b}{2} \right] , P\overline{1}=P\left[ \overline{1}|0 \right] , Pb=P\left[ m|\displaystyle \frac{b}{2} \right] $$  for $$P2/b$$
$$P1=P\left[ 1|0 \right] , P2_{1}=P\left[ 2|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] , P\overline{1}=P\left[ \overline{1}|0 \right] , Pb=P\left[ m|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] $$   for $$P2_{1}/b$$
ここで,$$a,b,c$$は並進群$$P$$の基底ベクトルを示す. 基底演算子のあらわな形$$[D_{j}|\alpha _{j}]=[E|\alpha _{j}][D_{j}|0]$$は第1系の合同式の法となる係数の特定な集合セット$$[E|\alpha _{j}]$$を作る.(15),(16)を用い,法則(3)による剰余類のクロス積を行うと,
$$P[D_{j}|\alpha _{j}] \cdot P[D_{l}|\alpha _{l}]=P[D_{j}|\alpha _{j}][D_{l}|\alpha _{l}]$$
$$=P[D_{j}D_{l}|D_{j}\alpha _{l}+\alpha _{j}]=P[E|\tau _{jl,n}][D_{n}|\alpha _{n}]$$     (17)
商群の乗積表と,それと同時に合同式の法の第2系$$[E|\tau _{jl,n}]$$の正当性とが納得できる.例えば,2つの剰余類の積$$P2_{1} \cdot Pb$$,これは商群$$P2_{1}/b/P$$の元が,
$$P2_{1} \cdot Pb=P\left[ 2 \mid \displaystyle \frac{b+c}{2} \right] \cdot P\left[ m|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] =P\left[ 2m|\overline{2} \cdot \left( \displaystyle \frac{b+c}{2} \right) +\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] $$
$$=P\left[ \overline{1}|\displaystyle \frac{-b+c}{2}+\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] =P[\overline{1}|c]=P[1|c][\overline{1}|0]=P\overline{1}$$
などであることを見出す. ここで,$$c$$軸の周りの180°の回転はベクトル$$c$$を保存するがベクトル$$b$$は逆になるので,$$\hat{2} \cdot \left( \left( b+c \right) /2 \right) =\left( -b+c \right) /2$$である.積$$\hat{2}_{1} \cdot b=\left[ \overline{1}|c \right] $$は剰余類の代表系を構成する.
$$\left\{ 1,2_{1},\overline{1},b \right\} =\left\{ \left[0\right] ,\left[ 2|\left(b+c \right) /2 \right] ,\left[ \overline{1}|0\right] ,\left[ m|\left(b+c\right) /2 \right] \right\} $$
演算子の基底セットには属さず,これは(16)のために,係数の系$$\left[ 1|c \right] $$を用い: 
$$ [\overline{1}|c]=\left[ 1|c \right] [\overline{1}|0] \equiv [\overline{1}|0]\left( \textrm{mod}[1|c] \right) $$
しかし,我々の特殊な場合は,$$j=2_{1}, l=b, n=\overline{1}$$
$$[E|\tau _{jl,n}]=[E|\tau _{2_{1}b,\overline{1 } }]=[1|c]$$
同様に,合同式の法の第2の系数を見つけることが出来る.別の表にcongruence合同関係の法$$[E|\tau _{jl,n}]$$の並進部分を書き出すことが出来る.それらに(16)を用い,係数$$2_{1}/b=\left\{ 1,2_{1},\overline{1},b\right\} $$により,群の乗積表を見出し,群$$2_{1}/b$$は群$$2/m$$に同型であることを確認できる.
$$ \begin{array}{c|cccc} \tau _{jl,n} & 1 & 2_{1} & \overline{1} & b\\[0mm] \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm] 2_{1} & 0 & c & 0 & c \\[0mm] \overline{1} & 0 & -(b+c) & 0 & -(b+c) \\[0mm] b & 0 & b & 0 & b \end{array} $$
$$ \begin{array}{c|cccc} 2_{1}/b & 1 & 2_{1} & \overline{1} & b \\[0mm] \hline 1 & 1 & 2_{1} & \overline{1} & b\\[0mm] 2_{1} & 2_{1} & 1 & b & \overline{1} \\[0mm] \overline{1} & \overline{1} & b & 1 & 2_{1} \\[0mm] b & b & \overline{1} & 2_{1} & 1 \end{array} $$ $$\leftrightarrow$$ $$ \begin{array}{c|cccc} 2/m & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] \hline 1 & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] 2 & 2 & 1 & m & \overline{1} \\[0mm] \overline{1} & \overline{1} & m & 1 & 2 \\[0mm] m & m & \overline{1} & 2 & 1 \end{array} $$
既知の群の合同式の法を見出すことは,それほど困難な課題ではないことがわかるだろう.逆問題―与えられた生成群$$T$$と$$G$$から非共型群を作る-では,種々の可能なバリエーションから一つ選ぶことが要求される.例えば,$$ G=2/m=\left\{1,2,\overline{1},m \right\} $$で,保存される部分群$$ G_{1}^{*}=\left\{1,\overline{1} \right\} $$を固定すると,残りの演算子$$2$$と$$m$$を用いこれらの係数に結び付け$$[E|\alpha ]$$元$$[D|0]$$の位数だけ乗倍すると群$$T$$の最小並進与える.この条件は,ただ3つの非同価結合により満たされ,次のようである: 
$$\left( \left[ 2|\displaystyle \frac{c}{2} \right] ,\left[ m|\displaystyle \frac{c }{2} \right] \right) , \left( \left[ 2|\displaystyle \frac{b }{2} \right] ,\left[ m|\displaystyle \frac{b }{2} \right] \right) , \left( \left[ 2|\displaystyle \frac{b +c} {2} \right] ,\left[ m|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] \right) $$
これらは,それぞれ群$$P2_{1}/m$$, $$P2/b$$, $$P2_{1}/b$$において実現される.
演算子$$[D_{j}|\alpha _{j}]$$のあらわな形は,係数
$$2_{1}/m=\left\{ 1,2_{1},\overline{1},m \right\} $$, $$2/b=\left\{ 1,2,\overline{1},b \right\} $$, $$2_{1}/m=\left\{ 1,2_{1},\overline{1},b \right\} $$


による群の基本セットを確立することを可能にする(図214参照).これらの群と群$$2/m$$間の同型性に基づき,対応する係数の体系$$[E|\tau _{jl,n}]$$を選べる.アナロジーを使って157の非共型空間群のすべてが見出せる.60シリーズ以上に分布している(参照、表12)(230群は73シリーズに属する)*.
任意の1シリーズにある群は,密接な関係があるが,(11の対掌対を除き)互いに同型ではない.これは,積則(15)において,(12)に従って書かれた,第2の系の係数$$[E|\tau _{jl,n}]$$を見いだすことが出来る:
$$\left( [E|\tau _{i}][D_{j}|\alpha_{j}] \right) \bigcirc \left( [E|\tau_{k}][D_{l}|\alpha_{l}] \right) =[E|\tau_{i}][E|\tau_{k}]^{[D_{j}|\alpha _{j}]}[E|\tau_{jl,n}][D_{n}|\alpha_{n}]$$
共型群($$\alpha _{j}=\alpha_{l}=\alpha_{n}=0$$)では,すべての量$$[E|\tau_{jl,n}] \equiv [E|0]$$(参照p.208)であるが;非共型群では,対応する元$$[D_{n}|\alpha_{n}]$$のすべての係数が$$[E|0]$$に変換される訳ではない.それらは,群シリーズごとに異なる.
同じ演算子の還元積の新しい演算を次のように定義する; 
$$[D_{l}|\alpha_{l}^{(i)}][D_{l}|\alpha_{l}^{(j)}]=[D_{l}|\alpha_{l}^{(i)} + \alpha_{l}^{(j)}]$$
$$=[E|\tau_{l}^{(ij,k)}][D_{l}|\alpha_{l}^{(k)}] \equiv [D_{l}|\alpha_{l}^{(k)}]\left( mod[E|\tau_{l}^{(ij,k)}] \right) $$
同一シリーズの任意の2つの非共型空間群$$\mit\Phi_{nsym}^{(i)}, \mit\Phi _{nsym}^{(j)}$$を同一系列の$$\mit\Phi _{nsym}^{(k)}$$に対し:$$\mit\Phi_{nsym}^{(k)}=\mit\Phi _{nsym}^{(i)} \cdot \mit\Phi _{nsym}^{(j)}$$
導入された演算が結合則を満たすことを,自分で調べるのは容易である.演算子の逆元は関係$$[D_{l}|\alpha _{l}]^{-1}=[D_{l}|-\alpha _{l}]$$により定義される;恒等演算は共型シリーズの頭の群$$\mit\Phi _{sym}^{(1)}$$演算子$$[D_{l}|0][D_{l}|\alpha_{l}]=[D_{l}|\alpha_{l}]$$
群$$\mit\Phi_{sym}^{(1)}=T \ominus G$$,$$\mit\Phi _{nsym}^{(2)}=T \bigcirc G^{T}$$などは,群$$G \leftrightarrow G^{T}$$同型な法によるある群の元とみなすことも出来る.例えば,
$$ \begin{array}{c|cccc} & P2/m & P2_{1}/m & P2/b & P2_{1}/b \\[0mm] \hline P2/m & P2/m & P2_{1}/m & P2/b & P2_{1}/b \\[0mm] P2_{1}/m & P2_{1}/m & P2/m & P2_{1}/b & P2/b \\[0mm] P2/b & P2/b & P2_{1}/b & P2/m & P2_{1}/m \\[0mm] P2_{1}/b & P2_{1}/b & P2/b & P2_{1}/m & P2/m \end{array} $$ $$\leftrightarrow$$ $$2/m$$
$$ \begin{array}{c|cccc} & Pmm2 & Pmn2_{1} & Pma2 & Pmn2_{1} \\[0mm] \hline Pmm2 & Pmm2 & Pmc2_{1} & Pma2 & Pmn2_{1} \\[0mm] Pmc2_{1} & Pmc2_{1} & Pmm 2 & Pmc2_{1} & Pma2 \\[0mm] Pma2 & Pma2 & Pmc2_{1} & Pmm2 & Pmc2_{1} \\[0mm] Pmn2_{1} & Pmn2_{1} & Pma2 & Pmc2_{1} & Pmm2 \end{array} $$ $$\leftrightarrow$$ $$2/m $$

1面帯,2面帯,ロッドなどの対称性を記述する1次元空間群や,ネットワークパターン,層などの対称性を記述する2次元空間群も,点群$$G$$あるいはこれに同型な法$$T$$による群$$G^{T}$$で,対応する並進群$$T$$を拡大したものとみなすことができる.対称記号には,群の型を特定できるすべての必要情報$$T, G, G^{T}$$が含まれているので,この問題の詳細はここまでにしよう.