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2021年5月の記事一覧

リノイドの体積

https://elementy.ru/problems/

立方体の上の面の対角線にレールがあり,下の面の対角線(上の面の対角線とは直交)にもレールがあります.下のレールの端(頂点)と上のレールの中点(面の中心)とを結ぶ長さの「線分」があり,この線分(長さを変えない)の両端はレール上をすべることができます.線分が包絡線となり囲む図形(リノイド)の表面の形を推理してください.

立方体の1辺の長さを2aとすると,リノイド体積はいくらですか.

なかなか難しいですが,線分の動きを頭の中でシミュレーションした以下の図が参考になります.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立方体の1辺の長さを2aとすると,線分KFの長さはa√6です.
図のような,座標系で考えます:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$$K(x_{K} , 0, -a), F(0, y_{F} , a), M\left( x, y, z \right) $$とします.
$$\overrightarrow{KM}(x-x_{K} , y , Z+a), \overrightarrow{FM}(x, y-y_{F} , z-a)$$
なので,次の方程式が得られます.
$$\displaystyle \frac{x-x_{K } }{x}=\displaystyle \frac{z+a}{z-a}=\displaystyle \frac{y}{y-y_{F } }$$
これを解いて,  $$x_{K}=\displaystyle \frac{2ax}{a-z} , y_{F}=\displaystyle \frac{2ay}{a+z}$$
一方, $$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
KF^{2}=x_{K}^{2}+y_{F}^{2}+4a^{2} \\[0mm]
KF=a\sqrt{6}
\end{array} \right. $$  ⇒  $$x_{F}^{2}+y_{F}^{2}=2a^{2}$$ であるので,$$x_{F} , y_{F}$$を代入して,
$$\left( \displaystyle \frac{2ax}{a-z} \right) ^{2}+\left( \displaystyle \frac{2ay}{a+z} \right) ^{2}=2a^{2}$$  ⇒ $$ \displaystyle \frac{2x^{2 } }{\left( a-z \right) ^{2 } }+\displaystyle \frac{2y^{2 } }{\left( a+z \right) ^{2 } }=1$$
このリノイドの水平(すなわち軸Ozに垂直)断面の方程式を得るためには, 
zの値を区間$$\left( -a, a \right) $$でスライスする. 
この方程式は,半軸に$$x=\left( a-z \right) /\sqrt{2}, y=\left( a+z \right) /\sqrt{2}$$を持つ楕円の方程式になる.
楕円の面積$$S$$は, $$S=\pi \cdot \displaystyle \frac{\left( a-z \right) }{\sqrt{2 } } \cdot \displaystyle \frac{\left( a+z \right) }{\sqrt{2 } }=\displaystyle \frac{\pi }{2}\left( a^{2}-z^{2} \right) $$
ゆえに,リノイドの体積$$V$$は, $$V=\displaystyle \frac{\pi }{2}\displaystyle \int_{-a}^{a}\left( a^{2}-z^{2} \right) dz=\displaystyle \frac{2\pi a^{3 } }{3}$$ 

 

 

 

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