2015年12月の記事一覧

2015年の数学月間懇話会

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数学月間SGK通信 [2015.12.29] No.095
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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いろいろあった2015年もあと数日で終わります.忙しい日々ですがどうぞ
お変わりなくお過ごしになりますよう.皆さまにとって良い2016年になりますように.
毎年7月22日に,数学月間懇話会を実施していますので,ご参加をお誘いします.
来年の計画が決まりましたらご案内いたします.

数学月間を日本数学協会が提唱して今年(2015年)で丸10年になりました.
今年の7月22日の数学月間懇話会(第11回)テーマは,十年目の数学月間(片瀬豊),
フランス数学週間(高窪正明),サッカーボールの対称性を解くトポロジカルシンメトリー(細矢治夫),
繰り返し模様の観賞法(谷克彦),テーラー展開の話(鈴木啓一)でした.
今年も例年のように大変暑い日で,教室付近の構内は自動販売機はないし熱中症も心配されましたが,
高校生5人を含む30人を超す参加があり熱心に質疑もなされました.参加者の過半数が懇親会にも参加されました.
今回のメルマガでは(1)の講演の概要を報告します.
(1)フランス数学週間(高窪正明)
2012年から始まったフランスの数学啓発活動-数学週間(La semaine des Mathématiques)-に付いて,
主にネットで得られた情報を中心に紹介がありました.
数学週間は,国民教育省の企画の下,“現在の生き生きとした魅力ある数学の提示”,
“数学が日常生活で果たしている重要性の提示”,などの五つの目的を掲げ,
パートナーと呼ばれる20数団体が参加して,毎年3月中旬に行われます.
加えて,毎回一つのテーマが決められています.2012年の第一回から2015年の第四回まで順にテーマを記すと,
”女子と数学”,”惑星である地球”,”様々な文化の交差点にある数学”,そして,”数学は,私たちを運ぶ”です.
この数学週間の特徴は,“数学カンガルー”テスト(後述)・暗算大会と国内数学オリンピック大会とが
同時開催されている点でしょう.前者二つは,遊び・身近なものを通じて,数学への関心を高める目的.
後者は,数学を専門として使う人材を養成する目的でしょう.
さて,数学カンガルーとは,1978年,オーストラリアの数学教授が考案した多項目選択式数学(算数)学力テストを,
フランスの二人の数学教授が更に発展させたもの(1991年)で,
現在は,“国境なきカンガルー協会”が,毎年3月の第3木曜日に実施し,
EUを中心に,世界50か国(600万人)以上が参加しています.
テスト問題は,学年・専攻別に12水準で用意され,代数,幾何学,および,
論理の三分野から出題される24問/50分から成り,参加国各国語に翻訳されます.
テスト結果は参加国それぞれで集計され,成績優秀者が表彰されます.
フランスでは,約4,000の学校・約3,000,000の小中高生が参加します.
これら三つの催しの他に,数学週間の期間中,その年のテーマに沿って多くの講演,
多彩な見学会(実習付),そして,教育映画上映会が,
フランス全土の30大学区(教育行政区)・パートナーによって執り行われます.
特に,第一回以来Cédric Villani 教授(2011年 Fields賞)が,活発な講演・啓発活動を行っている事も注目されます.

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折り紙箱の対称性

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数学月間SGK通信 [2015.12.22] No.094
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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本年もあと1週間です.本年お付き合いいただきありがとうございました.
今回は,前回のユニット折り紙の箱の考察の続きです.
■正6角形箱
2つの箱をユニット折り紙で作りました
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/29/17175629/img_0_m?1450707610

どちらの箱も正6角形です.色の見分けのできない(すべて灰色の見える)眼鏡をかけて見れば,
どちらもおなじで6回回転対称です.
左の箱は,6回回転軸の60°回転ごとに,色がオレンジ⇔青と入れ替わります.
このような色の交代と結び付いた6回軸を6’と書きます.
右の箱は,6回回転軸の60°回転ごと(左まわり)に,色は,青→ピンク→オレンジと置換します.
このような3色の置換と結び付いた6回回転軸を6^(3)と書きます[(3)は上付文字です]
左のような,2色交代と空間対称操作との結合はシュブニコフ,
右のような色置換と空間対称操作との結合はベーロフによって研究されました.
空間対称操作(空間群)はフェドロフにより研究されましたのでフェドロフ群と呼ばれるように,
これらの拡張された空間群は,シュブニコフ群,ベーロフ群と呼ばれます.
■シュブニコフ群
左の点群を6’={6',6'^2,6'^3,6'^4,6'^5,6'^6=1}とします.
図形を見てわかるように,色の変化を起こさない点群3={3, 3^2,3^3=1},
[ただし,6’^2=3,6'^4=3^2に注意]が,部分群[実は正規部分群]として含まれています.
したがって,対称操作の集合は2つの集合の和(剰余類展開)になります:
 6'=6’・3+1・3
これは,点群6'を色を変えない正規部分群 3を法として6’/3={1,6'(mod3)}に単純化されるということです.
[注)群3を法としてとは,点群3で動くものはすべて同じものと思えということです.
時計は12を法としています.1時と13時は同じ位置に来ます]
■ベーロフ群
右の点群は6^(3),色を変えない正規部分群は 2={(6^(3))^3=2, 1}ですから,
6^(3)/2={6^(3)(mod2),(6^(3)(mod2))^2, 1}
つまり,mod2というのは,2回軸で移るものは同じと思えということで,考察は図形の半分に帰着できます.
例えば図形の右側だけ見ると,青→ピンク→オレンジの置換が起きることがわかるでしょう.

■正8角形の箱
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/29/17175629/img_1_m?1450707610

左の箱は前回登場した正8角形のものです.点群は 8'
この中に含まれる色を変えない部分群は,4
8'/4={8'mod(4), 1} です.
ただし,正8角形のタイルで平面のタイル張りはできませんから,
有限図形の点群としての8はありますが,8回軸が周期的に並ぶと矛盾が起きます.
つまり,結晶点群として8は存在できません.
例えば,正8角形の分子(オクタテトラエン)が,周期的に配列して結晶を作ったとしても,
並進周期はせいぜい4回対称か2回対称でしょう.

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ユニット折り紙

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数学月間SGK通信 [2015.12.15] No.093
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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ネットでこのような美しい正八角形の箱を見つけました.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_0_m?1450074719

このなかに以下のような図形が見られます.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_1_m?1450074719

一番外側の大きな正8角形の内に一回り小さな正8角形が
含まれています.そしてその正8角形の内に,さらに一回り小さい
正8角形が見えます.
この調子で,内部に作図を続けていくなら,どんどん小さな正8角形が
含まれて行きます.そのようなどんどん繰り込まれていく図形は
フラクタル図形です.
一回り小さくなる度に,その相似比はどのくらいでしょうか?
外側周は直角2等辺3角形でできていますからすぐわかると思います.
1:√2-1 が答えの相似比ですね.

外側を以下のように星形にすると
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_2_m?1450074719

レオナルドの星形8角形が得られます.
外側の星形と内部の星形の相似比は,やはり
1:√2-1 です.
老婆心ながら,この比率を√2+1倍して
√2+1:1
が相似比だと答えても正解です.

■私も折り紙でこの箱を作製してみました.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_3_m?1450104156

以下のサイトに作り方が出ていますのでご参考まで.
同じ部品を作っておいて組み立てるこのような作り方を
ユニット折り紙というそうです.
正方形の千代紙が8枚必要です(フタ側の半身で).
ただし,中心の白く見える部分は千代紙の裏側ですから
これが嫌な方は両面印刷の千代紙か,贅沢ですが
背中合わせで2枚重ねの千代紙を使うと良いでしょう.
折り紙では,45度や45度の半分の角度は簡単に作れます.
今回の箱作りでもそのような折り方(下写真)を使います.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_4_m?1450104156

■作り方は以下のサイトを参考にしました
https://www.youtube.com/attribution_link?a=CJItUT4Igow&u=/watch?v=RbSiETOOac4&feature=share
八角形の折り紙箱 1/2
http://origamisho.com/archives/1412
セツの折り紙処

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シュレーフリの記号

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数学月間SGK通信 [2015.12.09] No.092
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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慌ただしい12月ですが,皆さまお風邪など召しませんように.私も危ない危ない.
今回は,4次元正多面体を理解するのに避けて通れないシュレーフリ記号についてです.
シュレーフリ(1814-1895)は,スイスの幾何学者.4次元の正多面体(ポリトープ:正多胞体)
が6つであることを示した人です.
ちょっと話を戻して,3次元の正多面体とは, 
(1)すべての面が同一の正多角形でできている.
(2)すべての頂点のまわりの状態は同一である.
を満たすもので,特に凸正多面体をプラトン正多面体と言いました.
プラトンの正多面体は5つであることはご存知でしょう.
注)5つの正多面体がプラトン多面体と呼ばれるのは,プラトンが著作に,ロクリス
(ギリシャの地名)のティマイオス(哲学者名)の宇宙観として“巨大な正12面体で囲まれている宇宙と,
四元素の正多面体”について述べているからです.この時代の四元素とは:
火→正4面体, 土→正6面体, 空気→正8面体, 水→正20面体.
正多面体が5種類であることは,プラトン以前のギリシャですでに知られていました.
ユークリッドの「原論」にも証明が載っています.

4次元の正多面体のことを正多胞体と呼ぶのが正しいのですが,
これは4次元の正多面体の面は,3次元の正多面体(プラトンの正多面体)なので,
面と言わずに胞Cellと呼ぶべきなのです.

さて,今回はこのようなものを記述するシュレーフリの記号についてです.
このような記号は面倒なようですが,この記号を理解すると多面体の性質のほとんどを理解したことになります.
シュレーフリの記号は本質をとらえた非常に優れた表記法であります.
■3次元の正多面体のシュレーフリ記号
{面の形,頂点に集まる面の数}
正4角形の面が頂点で3つ集まる図形を{4,3}と書きます.これは立方体ですね.
正3角形の面が頂点で4つ集まる図形{3,4}は? これは正8面体です.
{4,3}と{3,4}の図形は互いに双対の関係にあります.つまり,
一方の図形の面→頂点,頂点→面に置き換えると他方の図形が得られます.
互いに双対な図形の対称性は全く同じです.
■ユークリッド平面のタイル張り
{4,4}なら,正方形による無限平面のタイル張り,{3,6}なら,正3角形によるタイル張りになります.

■半正多面体を記述するシュレーフリの記号
半正多面体というのは,複数の正多角形で作られる多面体で
どの頂点のまわりの状況も同じものです.半正多面体を記述する記号は,
頂点のまわりを1周するとき出会う正多角形を列挙します.
切頂正4面体(正4面体のとがった頂点を切断し,残りの面が正6角形になるようにする)の例では 
[3,6,6]となります.シュレーフリ記号が,正多面体に関するものか,
半正多面体に関するものかの混乱を避けるため,私は前者を{},後者を[]と違うカッコを使い区別しています.

■4次元の正多胞体
正5胞体,正8胞体,正16胞体,正24胞体,正120胞体,正600胞体の6つです.
正5胞体は正4面体が5つでできています.
4次元正胞体のシュレ―フリの記号は{胞の形,1辺が共有する胞数}を指定します.
正5胞体は,正4面体が各辺の周りに3個集まっている図形ですので{{3,3},3}={3,3,3},
正16胞体は{3,3,4},正600胞体は{3,3,5}というように,全く自然に3次元から延長できます.

■最後に3つの幾何平面(2次元)のタイル張りについてまとめます.
このような正n多角形によるタイル張りを,平面の正則分割{n,k}といいます.
赤い色は楕円幾平面,緑色はユークリッド幾何平面,青色は双極幾何平面の出来事です
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/32/17152332/img_0_m?1449586423

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イスラムの数学と都市の発展

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数学月間SGK通信 [2015.12.01] No.091
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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■ゼロとアラビア数字
最古の記数法は五進法だそうです.5をひとまとめにしたものを「1クワイン」といいました.
バビロニアには60進法,20進法を使ったところも,12進法を使った場所もありました.「1ダース」です.
12は約数が多いので10より便利なところがあります.けれども,大勢は10進法に落ち着きました.
われわれが指を折って数えるところから10進法が各所で使われるようになったと推測されています.
10進法での記数法には0と1~9までの数字が必要です.これからアラビア数字の起源に思いを馳せるわけですが,
0と1~9までの数に対応する何らかの記号があり,それ以前に十進法が確立していなければなりません.
参考書:「アラビア数学奇譚」マオバ・タハン(越智典子訳)白揚社
■イスラムの数学
フワーリズミー(780頃~850頃)は、アッバース朝のバクダッドで活躍しアラビアの数学を確立した代数学の創始者です.
彼の時代のバクダッドをのぞいてみましょう.
ゼロの役割には,位取りの役割と4則演算の対象となる数の役割があります.
まず位取りに関していえば,この時代,大勢は和算もイスラムも10進法でありましたから,
数を表示するには,・・・・,十万,万,千,百,十,一,の位の場所に,0~9に相当する数字を書いたり,
マッチの軸木のような算木を置いたり,
そろばんでは玉で表示したりします.どんな記号を使っても似たようなもので,
ゼロの記号がないときはその位は空にしました.アラビア数字に関しては,エジプト,インドから
伝えられたゼロの概念がイスラムで発展しヨーロッパに伝わり完成されたという流れでしょう.
どのような数字でもかまいませんが,0があると空を位取りの場所に配置するよりも明瞭に数字を表示できます.
これが位を明瞭にするので,十,百,千,万,十万,百万,千万,億,...と際限なく単位が必要になることが避けられます.
これはイスラム数学の画期的な成果でしょう.
次に,4則演算の対象としてのゼロについてです.分数全体の集合(=有理数)の中で4則演算を自由に行えます.
ただし,ゼロで割ることは禁じられていますのでご注意ください.
ギリシャでは幾何学が盛んでしたが,イスラムの数学ではアラビア数字の記数法を用いて,代数や方程式が進みました.
特に,三角関数が生まれて発展しました.われわれが高校で学んだ加法定理や倍角の公式やそのほか様々な三角関数の公式が証明され,本が出版され,三角関数の数表も発行されました
■平和の都,バクダッド
1100年前のバクダッドは人口100万人の世界最大の都市でした.
その賑わいはまさにアラビアンナイトの世界です.イスラムの教えのもとに
“平和の都”と呼ばれ,アッパース朝宮殿は建築工学,幾何学の粋を集めます.
イスラム帝国は,東ローマ帝国と中国(唐王朝)の間に位置し交易に便利です.
コーランは“神は商売を許したもうた”と商業を奨励し,売買の証人たる仲介人がいて契約と公正な取引が行われたそうです.
最古の小切手(エジプトの商人が振り出した)も発見されています.
チグリス川とユーフラテス川の間に円城都市(直径2.3km)が建設され,
これを中心とする見事な中央集権行政システムが出来上がりました.
バクダッドに集まる4本の街道は東西南北に延びヨーロッパはスエーデンまで交流があったということです.
(バイキングも正式に貿易しイスラム銀貨が流通しました)
■科学や医学,都市の発展
8世紀に成立したアッバース朝では,カリフや宮廷のワズィールたちが保護をうけ,第7代カリフ,
マアムーンが創設した研究施設バイト・アル=ヒクマ(智恵の館)には多くの科学者が集まり,
ギリシャ科学のアラビア語への翻訳が進めらました.マアムーンに仕えた科学者・数学者のひとりが,
フワーリズミー(780頃~850頃)でした.
科学では,古代エジプトに起源を持つ錬金術の実験が繰り返され,元素記号が生まれ,
文学では,アラビアン=ナイトが生まれ,唐で発明された製紙法もキルギスの戦いの際に伝わりました.
バクダッドには100軒を越す書店があったそうです.
百花繚乱.当時のバグダードのにぎわい言ったらすごい.見たかったですね.
イブン・シーナは最先端医学の医学典範を著し,世界初の総合病院がバクダッドに作られました.
病院は寄進され,その運営費も,周辺の市場の売り上げ寄付で行うワクフという相互扶助の制度が,公共施設を支えたそうです.
円城都市を中心に,モスク3万,多くの市場と市場には100店を超す店があったそうです.
500年間繁栄したイスラム帝国は,1万2千のモンゴル軍により滅亡しました.
チグリス川は血で染まり,本のインクで青く染まったそうです.
アラビア語に訳されたアリストテレスなどギリシャの古典や発展したイスラムの科学は,
その後ヨーロッパに伝わりラテン語に翻訳されルネッサンスが花開きます.
参考:
ドキュメンタリー 文明の道「第06集 バグダッド 大いなる知恵の都」
https://www.youtube.com/watch?v=ehEuTnLfOME&feature=share

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