2015年11月の記事一覧

双曲面万華鏡

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数学月間SGK通信 [2015.11.24] No.090
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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秋らしい日になりましたが,今年も慌ただしく過ぎて行きます.
皆様お変わりありませんか.
前号で双曲幾何平面(ポアンカレ円盤モデル)の正則分割(タイル張り)の話をしました.
そのような光景を万華鏡で作ってみることにします.
■コクセターの万華鏡
まず球表面(楕円幾何平面)の話から復習します.
球表面が球面正p多角形タイルで{p,q}のように張りつめられているとき,
1つのタイルの中を2p個の直角3角形に分割できます.
この直角3角形を鏡室とする万華鏡は“メビウスの万華鏡”です.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/51/17096451/img_1_m?1447147230
直角3角形の内角は,それぞれ π/p,π/q,π/2で,この直角3角形を(p,q,2)と書きます.
ポアンカレ円盤の双曲幾何平面でも,双曲正p多角形で{p,q}のように張りつめられているとき,
1つのタイルを2p個の直角3角形に分割できます.
この直角3角形を鏡室とする万華鏡は“コクセターの万華鏡”です.
双曲面の{6,4}正則分割の場合の直角3角形(6,4,2)(赤い3角形)を図(左)に,
対応する“コクセターの万華鏡”の映像を図(右)に示します.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/15/17104115/img_0_m?1447459606
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/15/17104115/img_1_m?1447459606
この3角形の2辺は平面鏡,残りの1辺は円盤のフ チに直交する円弧鏡よりなります.
しかしながら,この円弧鏡は,数学的には反転円として定義できるのですが,
現実の円柱鏡の反射には収差があるので,数学 の定義のようにはいきません.
従って,あまり鮮明な万華鏡映像にはなりません.

■(7,3,2)3角形によるコクセターの万華鏡
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/87/17106487/img_0_m?1447506664
(1){7,3}の正7角形タイル張り(赤) (2){3,7}の正3角形タイル張り(緑) (3)菱形タイル張り(青)
3枚鏡(直線鏡2枚,円弧鏡1枚)の万華鏡により
ポアンカレ円盤内の双曲平面は市松模様に塗られますが,
正7角形のタイル張り,正3角形のタイル張り,菱形タイル張り
などを見ることができます.

話はこの先,エッシャーの作品「極限としての円」シリーズに続きます.

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双曲幾何平面のタイル張り

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数学月間SGK通信 [2015.11.17] No.089
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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非ユークリッド幾何の双曲幾何平面を訪ねて見ようと思います.
エッシャーの作品で「極限としての円」シリーズを見たことがおありでしょうか.
円盤の世界で周辺に行くほど,どんどん小さくなって行く構図です.
この作品は双曲幾何のポアンカレ円盤モデルを使い,
円盤内の正則分割(コクセターの万華鏡)が基礎になっています.
正多角形タイルによるタイル張り(正則分割という)は,
双曲幾何平面の場合は無限にあります.
例として,{6,4}と{5,4}を掲載しますので,まずはご鑑賞ください.
 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/02/17100202/img_0_m?1447229525
(注)
ポアンカレの双曲幾何のモデルは,円盤の中にすべての宇宙があります.
宇宙の果て(円盤のフチ)に近づけば近づくほど自分もどんどん小さくなるので
いつまでたっても宇宙の果てに到達できません(無限の時間がかかります).

{6,4}は正6角形による双曲幾何平面の正則分割で,各頂点に4個の正6角形が集まっています.
円盤の中は双曲幾何の世界ですから,この世界の直線は円盤のフチに直交する円弧です.
正6角形の辺はすべて直線です.円盤の中に描かれた円弧は皆,縁と直交しており,
この世界ではすべて直線です.円盤の中の正6辺形はすべて同じ大きさです.
同様に,{5,4}の図は正5角形による双曲幾何平面の正則分割の例です.
 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/02/17100202/img_1_m?1447686193

例えば,赤い円弧で分けられた世界は左が大きく右が小さいようですが,
この円盤内の世界では同じ広さです.どちらの世界も無限に広い.
円弧は左右の世界を写し合う鏡です.鏡像は色が変るように市松模様に塗り分けました.

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美術・図工 エッシャーの「極限としての円」★★

■エッシャーのトリック(引用先:コクセター論文)

M.C.エッシャーの「極限としての円」Circle limit IIIを鑑賞しましょう(図左).
この円盤内は双曲幾何の世界(ポアンカレの円盤モデル)です.
この円盤内を旅する人は,円の縁(世界の果て)に近づくほど時間がかかる.
つまり,[世界の果てに到達するには無限の時間がかかる]ようになっています.
この世界で定義される直線(最短時間で移動できる経路)は,円盤世界の縁で直交する円弧です.
エッシャー作品(図(左))の円盤は,魚の流れを示す白い線で分割された双曲面の
[4,3,4,3,4,3]分割のように見えますが,実は図(中)に示すような,黒い線で分割した{8,3}正則分割です.
白い線は,双曲幾何の円盤世界の縁に80°で交差し,直線ではないのです.
図(中)の正8角形の黒い線がこの円盤世界の直線であることは,図(中)に書き込んだ赤い円弧
(いずれも円盤縁で直交する円弧)を見れば理解できるでしょう.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

双曲平面の正8角形タイルは,双曲平面の直線(円盤の縁で直交する円弧)で囲まれています.
タイルの大きさは円盤の縁に行くほど小さく見えますが,円盤内は無限に広い双曲幾何平面なのですべて同じ大きさです.
1つのタイルの中には4匹の魚がおり中心に4回軸があります.
正8角形の頂点には3回軸があり,魚の白い流れは3回軸の場所に集まっています.
エッシャーは{8,3}分割に用いる直線をわざと隠し,白い流れが分割であるようなトリックを見せます.
もちろん,白い流れの円弧(直線ではない)に関して鏡映対称はありません.

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美術・図工 双曲面万華鏡(コクセターの万華鏡)★

■直角3角形(7,3,2) によるコクセターの万華鏡

正7角形のタイルは,直角3角形(7,3,2)[内角の組(π/7,π/3,π/2)の3角形のこと]の14個に分割できる.
直角3角形(7,3,2)を鏡室とする万華鏡を,コクセター万華鏡と呼びます.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) {7,3}の正7角形タイル(赤)張り. (2)   (1)の双対である{3,7}の正3角形タイル(緑)張り.(3) 菱形タイル(青)張り.

 

 


3枚鏡(直線鏡2枚,円弧鏡1枚)のコクセター万華鏡により,
ポアンカレ円盤内の双曲平面は市松模様に塗られます.
生じるタイル張りは,正7角形のタイル張り,正3角形のタイル張り,菱形タイル張り,に見えます.

 

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美術・図工 エッシャー作品の生まれるまで★

■エッシャー作品の生まれるまで

 

 

 

 

 

 

 

 


コクセター               エッシャー
直角3角形(6,4,2)            直線魚のモチーフ    「極限としての円I」
双曲面の{6,4}分割を細分                       Circle Limit I

コクセターとエッシャーはオランダで開催された1954年の国際数学者会議で出会いました.
1958年にコクセターはこの分割を掲載した論文*をエッシャーに送り,
これがエッシャーの「極限としての円」の作品群を生むことになります.

*By S.H.M.Coxeter
Crystal Symmetry and ItsGeneralizations (published in the Transactions of the RoyalSociety of Canada in 1957).

 続く⇒ 極限としての円Ⅲ

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