ダビンチの星型・続き

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数学月間SGK通信 [2017.02.21] No.155
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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■ユニット折り紙で作ったダビンチの星型の続きです.これは,
芯に置いた正8面体の各面に正3角錘が乗っている形です.Fig.4
星型の頂点を結ぶと芯にある正8面体に双対な正6面体ができます.
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/19/17902919/img_0_m?1486823996

このユニット折紙では,正3角錐の面は正3角形ではなく直角3角形です.
そして,各面はツートンカラーになっています.
対称性を調べると,芯の正8面体の頂点方向に(x,y,z軸)4回回転対称軸,
各正3角形の面に垂直に3回回転対称軸,2つの4回回転軸の中間(同じことだが,2つの3回回転軸の中間)に
2回回転対称軸があります.色の変化を調べると,
4回回転軸により4色の置換,3回回転軸により3色の置換と1色の保存,
2回回転軸により2色の置換と2色の保存が起こります.

この図形には4回軸があるので,色置換の操作も含めて完全な対称性にするには,
塗り分けには4色用いる必要があります.
3回軸の方向から見ると3色見え,見えないもう一色は,
3回軸で保存され,3回軸に垂直な面の大円上にあります.
3回軸の方向は4本あり,3回軸それぞれは,軸に垂直な大円上の色を保存するので,
結局,塗り分けには全部で4色使うという言い方もあります.

■写真(Fig.5)
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_0_m?1487566646
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_1_m?1487566646

この星型は,立方体の6つの面に,正3角形の面で出来ている正4角錐が乗っています.
芯になる立方体の1辺の長さを1とすると,星型の頂点の高さは√2/2,
もし,星型頂点の高さを立方体の辺の長さの1/2に短縮すると,
星型の凹入角がフラットになり体心格子のデリクレ胞(菱形12面体)になります.
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_4_m?1487566646
(Fig.6)左が星型正24面体,右が菱形12面体

展開図は色々なものができますが,作りやすいものにするのがよい設計です.
星型24面体と菱形12面体の展開図を比較して見て下さい.(Fig.7)
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_6_m?1487566646
美しい形ですので作って見ると良いでしょう.

■正20面体を芯にして,正3角形の各面の上に正3角錘(正4面体)を乗せた星型が,星型正60面体です.
正3角形の面が10個集まっている点と3個集まっている点(頂点)が交互にある星型です.
1枚の連続した紙に展開図を描くことはできません.