3つの幾何平面

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数学月間SGK通信 [2015.10.26] No.086
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学

色々な幾何空間があります.
大きく分けて,ユークリッド幾何空間と非ユークリッド幾何空間です.
非ユークリッド幾何空間には,楕円幾何,双曲幾何の支配する幾何空間があります.
我々の常識が通用するユークリッド幾何の世界では,
“直線l外の1点をA通り,その直線に平行な直線“は,唯一本だけ引けます.

平行線が1本も引けない世界や,無数に引ける世界とはどんな世界でしょうか?

これら3種類の幾何空間を,平面を例にとり比較します.

(1)ユークリッド幾何平面  (2)楕円幾何平面 (3)双極幾何平面
例⇒ 我々の常識の世界     球の表面      ポアンカレの円盤モデル

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/81/17061581/img_0?1445817357

それぞれの空間で,“直線の定義を変えれば”,
そのようなことが起こる世界があることを納得できるでしょう.
2点間を結ぶ直線とは,その世界で2点間の距離を最小とするものです.

(1)常識の通用するユークリッド幾何平面
2点間の距離が最少なのは我々の知っている直線です.
(2)球の表面は楕円幾何平面の例
球表面の世界では,大円(球中心を通る平面で切った球の表面)が直線です.
地球自体は3次元ユークリッド空間の物体ですが,表面だけなら楕円幾何平面です.
地球上の2点間の距離が最小のものは大圏コースと呼ばれますが,
これは地表の大円上の線分のことです.
異なる2つの大円は必ず2点(直径の両端)で交わるので,
直線外の1点を通る平行線はありません.また,地球儀の
緯線のようなもの(小円)は大円でないのでこの世界では直線になりません.
(3)双曲幾何平面の例(ポアンカレ円盤モデル)
双曲幾何の世界のポアンカレ円盤モデルでは,
円盤のフチに直交する円弧を,直線と定義します.
この世界では,ある直線に対する直線外の1点を通る平行線は無数に引けます.
円盤モデルの世界では,円盤のフチに近づくほど見かけの距離はどんどん縮むので,
フチの近傍は実際は無限の距離があり,永久に地平線に到達できません.
確かにこのような円弧が最短距離です.