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トレミーの定理

トレミーは2世紀のギリシャの天文学者プトレマイオスのことです.地球中心の天動説を確立したので有名です.トレミーの定理を導きました.

トレミーの定理(Ptolemy's Theorem)とは,円に内接する任意の4角形 ABCD で,AB・CD+DA・BC=AC・BD が成立することです.高校の幾何ででてきた懐かしい定理です.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

トレミーの定理を,以下のような特殊な円に内接する4角形=長方形に適用すると,ピタゴラスの定理 a・a+b・b=c・c が証明できます.この意味で,トレミーの定理はピタゴラスの定理の拡張定理と言えます.

 

 

 

 

 

 

 

 

さて,トレミーの定理の証明には,三角関数を使うなど色々な方法がありますが,素朴に,下図の2つの図に示す3角形の相似を用いてやってみます.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

両辺を足し合わせると AB・CD+BC・DA=AC・(BP+DP)が得られます.

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