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ピタゴラス4数もまた楽しい(竹内淳実 2021年2月)

投稿日時: 02/05 システム管理者

ピタゴラス4数もまた楽しい              竹内淳実 2021年2月
                   

直方体の3辺の長さの2乗の和は、その直方体の空間斜線の2乗を表す。
3辺をA,B,C,空間斜線をDとすると  A²+B²+C²=D² 
このA,B,C,D総てが整数であるのをピタゴラス4数と言い、(A,B,C,D)で表す。
しばらくこれを追ってみよう。


1.ピタゴラス4数の最小値は 1²+2²+2²=3²     (1,2,2,3)
これを二つ重ねれば正六面体となる。
D=5 では存在しない。
D≧7は
(2,3,6,7)(1,4,8,9)(2,6,9,11)(3,4,12,13)(2,5,14,15)
(8,9,12,17)(1,6,18,19)(4,8,19,21)(3,6,22,23)(12,15,16,25)
(2,7,26,27)(12,16,21,29)(5,6,30,31)(4,7,32,33)(6,10,33,35)
(12,21,28,37)(10,14,35,39)(9,24,32,41)(2,9,42,43)(4,28,35,45)
(6,27,38,47)(4,9,48,49)(2,14,49,51)(27,28,36,53)(10,18,51,55)
(7,8,56,57)(6,9,58,59)(11,36,48,61)(5,10,62,63)(7,24,60,65)
今回ここでとめておくが、7≦D≦499の総ての奇数でD値は見いだせたが、法則性は見当たらない。
(5,10,62,63)のように、瞬時に解が得られるものあり、(6,27,38,47)のように10数倍の計算を要するものもある。複数解もまた多い。
例えばD=39では上記の他に(13,14,34,39)(2,26,29,39)もあり、またD=3、D=13
の倍数もある。また更に数倍の計算を重ねて、ピタゴラス4数が存在しないと確認する数も出てこよう。
遊び心、単なる気分転換には向かないかも知れない。時間に余裕があるときの楽しみである。


2「ピタゴラス数を楽しもう」で取り上げた「直方体の三辺と側面の三つの対角線全部が整数であ
るもの」A²+B²=E²、B²+C²=F²、C²+A²=G² の4例の空間斜線長A²+B²+C²=D²は、
D²=117²+44²+240²=73225=5²・29・101           
D²=187²+1020²+1584²=3584425=5²・13・41・269      
D²=195²+748²+6336²=40742425=5²・53・97・317      
D²=275²+240²+252²=196729=13・37・409 
 と、いずれも整数ではない。このD値を整数とすることが出来るかどうかは未解決の問題と、
E.マオール「ピタゴラスの定理」(伊理由美訳)にある。 上記D値を素数で見るとすべてピタ
ゴラス数C値たり得る。この問題は
  E²+C²=F²+A²=G²+B²=D²とピタゴラス数(A,B,C)の要領で迫るのも面白いかなと、
ピタゴラス数C値基準で探ってみた。残念だが、今までのところ見つかっていない。
下記に掲載するのは、直方体の3辺A、B、Cが整数、側面の斜線の内いずれか2数が整数であるピタゴラス4数で
ある。(185,672,697)(153,680,697)より得られたものから順に。
 ピタゴラス4数            側面のピタゴラス数
(153、104、672、697)      (153、104、185) (104、672、680)
(495、840、448、1073)    (495、840、975) (448、840、952)

(975、448、264、1105)    (264、448、520) (448、975、1073) 
(1925、1680、2052、3277)  (1680、1925、2555) (1680、2052、2652)
(533、756、3360、3485)    (533、756、925)   (756、3360、3444)
(2261、252、2640、3485)   (252、2261、2275) (252、2640、2652)
(819、1680、3740、4181)   (819、1680、1869) (1680、3740、4100)
(2275、2640,2772、4453)  (2275、2640、3485) (2640、2772、3828)
(4301、1932,2880、5525)  (1932、2880、3468) (1932、4301、4715)
(4653、1680、3404,6005)  (1680、3404、3796) (1680、4653、4947)
(357、1276、6960、7085)   (357、1276、1325) (1276、6960、7076)
(1665,4264、6048、7585)  (1665、6048、6273) (4264、6048、7400)
(7011、2352、5236、9061)  (2352、5236、5740) (2352、7011、7395)
(861、5852,6864、9061)    (861、5852、5915)  (5852、6864、9020)
(3927、5952、6536、9673)  (3927、6536、7625) (5952、6536、8840)
(4557、3124,9840、11285)  (3124、4557、5525) (3124、9840、10324)
(6601、4032、8976、11849)  (4032、6601、7735) (4032、8976、9840)
(10659、4788、3920,12325) (10659,4788、11685)(4788、3920、6188)
(10373、6336、5460、13325) (10373、6336、12155)(6336,5460,8364)
(8645、1476、10032、13325) (8645,10032、13243)(1476、10032,10140)
(4725、1952,14820、15677) (4725、14820、15555)(1952,14820,14948)
(9405、7700,10608、16133) (9405、7700、12155)(7700、10608、13108)
(9405、8208、10220、16133) (9405、8208、12483)(8208、10220,13108)
(2915、15312、4284,16165) (2915、15312、15587)(15312、4284、15900)
(3567,2944,16800,17425) (3567,2944,4625)   (2944、16800、17056)
(16095,3960,7616,18241) (16095,3960,16575)(3960,7616,8684)
(7293,3276,16400,18245) (7293,3276、7995)   (3276、16400、16724)
(7293、14960、7476、18245) (7293、14960、16643)(14960、7476、16724)
(9555、15312、9100、20213) (9555、9100、13195)(9100、15312、17812)
(9555、13940、11088、20213) (9555、11088、14637)(11080、13940、17812)
(16065、9152、10920、21473) (16065、10920、19425)(9152、10920、14248)
(19425、9152、13464、25345) (19425、9152、21473)(13464、9152、16280)
(2925、21840、12628、25397) (2925、21840、22035)(21840、12628、25228)
(25707,8624,12180,29725) (25707,8624,27115)(8624,12180,14924)
(30225,6552,2464,31025) (30225,6552,30927)(6552,2464,7000)
(24795,17556,10192,32045)(24795,17556,30381)(17556,10192,20300)


これだけ並べると、一見大変に見えるだろうが、毎回30分、1時間程度で、積み重ねが効く
肩の凝らない遊びであり、この先もぼちぼちと続け楽しみたい。


終わりに
 今回数字の羅列多く、疲れを覚えた方もおられるだろう。水平思考を垂直にと趣向を変えて
漢字の羅列、場違いであるが拙詩を記す。ご容赦を!

新型冠病毒有感 
制御病原存理性   病原制御するは 理性に存す
不封都市檢培池   都市を封ぜず 培池をめん
唾啡飛沫染汚懼   唾啡せる飛沫 染汚の懼れ
把弄器材媒介危   把弄せる器材 媒介の危うさ
三密教唆平素影   三密の教唆 平素に影し
四隣交誼刹那疑   四隣の交誼 刹那にらう
要請自肅覆商賈   自粛の要請 商賈を覆い
配慮周圍翻會期   周囲へ配慮 会期を飜す
經濟浮揚腐心政   経済の浮揚 腐心の政
隔離治療獻身醫   隔離の治療 献身の医

垂頭順應專家訓   頭を垂れ順応す 専家の訓に
翹首待望般逸宜   首をげ待望す 般逸の宜しきを
演藝管弦陶醉坐   演芸管弦 陶酔して坐し 
球音角力喚呼馳   球音角力 喚呼馳せんと
目留罹患死亡少   目は留む 罹患死亡少なきを
耳痛非情孤獨悲   耳は痛む 非情孤独の悲しみに
                           擱筆