22/7

投稿日時: 2020/08/25 システム管理者

分数$$ 22/7 $$は、無理数$$ \ pi $$の良い近似値です。7月22日を$$\Pi$$の日として祝うほどです。しかし、無理数の有理近似をどのように計算するか疑問に思ったことはありませんか?

答えは継続的な分数から来ます:これらは、数の隠された特性を明らかにすることができる入れ子になった一連の分数です。任意の数を継続分数として書くことができます。有理数(整数を含む)は有限の継続分数として書くことができます:例えば

\ [3 = 3 \]
(これは確かにそれほど興味深いものではありません!)
\ [\ frac {22} {7} = 3+ \ frac {1} {7} \]
そして
\ [\ frac {333} {106} = 3+ \ frac {1} {7+ \ frac {1} {15 } } = 3+ \ frac {15} {106}。 \]
無理数には無限の継続分数があり、有限数のレベルの後でこれらを切り捨てると、無理数の値に近い分数が得られます。上記の分数は、$ \ pi $への最初のいくつかの近似であり、無限の継続分数を切り捨てて計算されます。
\ [\ pi = 3+ \ frac {1} {7+ \ frac {1} {15+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {292+ \ ldots } } } }。 \]
分数$ p / q $は、分母$ q $が小さい$ x $に近い分数がない場合、無理数$ x $の適切な近似です。そして、無理数の継続的な分数展開は、この意味で、無理数に対して最良の一連の近似を与えます。
この方法で生成された$ \ pi $の最初のいくつかの近似:

\ [3、22/7、333/106、355/113 \ mbox {および} 103993/33102 \]
$ \ pi $の真の値に非常に早く近づきます。 $ \ pi $との違いはおよそ次のとおりです。

\ [0.141、0.001、0.0008、0.0000003 \ mbox {および} 0.0000000006。 \]
ヒマワリの種の頭左スパイラルが55のヒマワリの種の頭右のスパイラルが34のヒマワリの種の頭
ヒマワリでらせん状に伸びる種子の曲線を数えると、フィボナッチ数列の近傍(ほとんど常に)のペア(らせんを左に曲げ、右に曲げる)が見つかり、すべての近似は$ \ phi $になります。
しかし、すべての近似が無理数に対してそれほどうまく機能するとは限りません。たとえば、$ \ phi = 1.618 ... $の継続部分からの近似(連続するフィボナッチ数の比率の制限–詳細はこちらをご覧ください)は次のとおりです。

\ [\ frac {1} {1}、\ frac {2} {1}、\ frac {3} {2}、\ frac {5} {3}、\ frac {8} {5}、\ ldots \ ]
これらの近似値は最善ですが、$ \ phi $の真の値に非常にゆっくりと近づきます。上に挙げたものでは、約$ 0.618、0.381、0.118、0.048 $および$ 0.018 $の違いがあります。そのような役に立たない近似を持つ無理数は、ひどく近似可能と呼ばれます。継続する小数部の数値が制限されていて(固定された数値を超えていない場合)、何かが非常に近似可能であることがわかり、これはそれらがいかに不合理であるかの尺度です。実際、$ \ phi $は最も不合理な数であり、継続部分の数が1を超えることはありません。
\ [\ phi = 1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac { 1} {1+ \ ldots } } } } } }。 \]
$ \ phi $の継続的な小数部は、繰り返しパターンに尾を引かない乱雑な無限10進展開(およびすべての無理数)があるにもかかわらず、美しいパターンを明らかにします。ちなみに、$ \ phi $は黄金比と呼ばれる数です。 $ \ sqrt 2 $など、他の不合理な数の継続的な割合も、隠れたパターンを明らかにします。
\ [\ sqrt 2 = 1+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2+ \ ldots } }}。 \]
これらのパターンは美しいですが、これらの数値はかなり近似可能です。しかし、$ \ pi $は、その優れた有理近似により、継続的な割合でそのようなパターンを保持していません。
継続分数について詳しくは、ジョンDバローの記事、ナンバーランドのカオス:継続分数の秘密の生活をご覧ください。