対称群の体系化198

投稿日時: 04/27 tanik

3次元空間の対称性への移行に備えて,これまでに研究されたすべてのタイプの群を一つの体系にまとめてみよう.記号$$G_{r,s,...,t}$$を使って,$$r$$次元幾何空間の(等長)対称群で,この空間の次元$$s,...,t(r>s>・・・>t)$$の(周期的,または非周期的)部分空間を同時にそれ自身に変換するものを表記する.この表記法で,片面ロゼットの点群(Ch.2)は,特異平面(2次元平面)とその法線(1次元空間)を自分自身に変換し,同時に特異点(0次元空間)を不変に保つことから,$$G_{3,2,0}$$,または$$G_{3,1,0}$$という記号を得る.
有限(または,無限)図形の点群$$G_{3,0}$$(Ch.3)は,3次元空間を自分自身に変換しつつ,単純に特異点を不変に保つ.
群$$G_{3,0}$$から群$$G_{3,2,0}$$に至るには,3次元図形の異なる平面断面を考えるか,ロッドの空間群$$G_{3,1}$$(Ch.6)の部分群として見つけることができる.両面平面によるロッドの長手方向の断面は,両面帯群$$G_{3,2,1}$$(Ch.5)の対称性を決定する.

後者からは,3次元空間を片面平面に投影し,片面帯の対称群$$G_{2,1}$$(Ch.4)に進むことができる.同様に,層の空間群$$G_{3,2}$$から,ネットワークパターンの空間群$$G_{2}$$(Ch.7)へと進む.これらの群と,そこから派生した層の対称群($$G_{3,2,1,0}$$と$$G_{2,1,0}$$),片側ロゼットの対称群($$G_{2,0}$$),直線の対称群($$G_{1}$$),線分の対称群($$G_{1,0}$$),点群($$G_{0}$$)は,次のような方式で互いに関連しており,3次元空間群$$G_{3}$$(Ch.9)にも関連している:

 

 

 

 

 

この図式で,一重の矢印は部分群への移行;二重の矢印は断面や投影を表わしている.記号の前の数字は,離散的な結晶群の数に対応する.